次の行列 $A$ の行列式を因数分解したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 \\ 1 & y & y^2 & y^3 \\ 1 & z & z^2 & z^3 \\ 1 & w & w^2 & w^3 \end{pmatrix}$
$(w-x)(w-y)(w-z)(z-y)(z-x)(y-x)$
$-(w-x)(w-y)(w-z)(z-y)(z-x)(y-x)$
$2(w-x)(w-y)(w-z)(z-y)(z-x)(y-x)$
$3(w-x)(w-y)(w-z)(z-y)(z-x)(y-x)$
行列式の性質を用いると
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 \\ 1 & y & y^2 & y^3 \\ 1 & z & z^2 & z^3 \\ 1 & w & w^2 & w^3 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 \\ 0 & y-x & y^2-x^2 & y^3 -x^3\\ 0 & z-x & z^2-x^2 & z^3- x^3 \\ 0 & w -x & w^2 -x^2 & w^3 -x^3 \end{vmatrix} \\[1em] & = & (y-x)(z-x)(w-x) \begin{vmatrix} 1 & y+x & y^2+ yx + x^2 \\ 1 & z + x & z^2 + zx + x^2 \\ 1 & w+x & w^2 + wx + x^2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & (y-x)(z-x)(w-x) \begin{vmatrix} 1 & y + x & y^2 + yx + x^2 \\ 0 & z-y & (z-y)(x+y+z) \\ 0 & w-y & (w-y)(x + y +w ) \end{vmatrix} \\[1em] & = & (y-x)(z-x)(w-x)(z-y)(w-y) \begin{vmatrix} 1 & x+y+z \\ 1 & x+ y+ w \end{vmatrix} \\[1em] & = &(y-x)(z-x)(w-x)(z-y)(w-y) (w-z) \\[1em] & = & (w-x)(w-y)(w-z)(z-y)(z-x)(y-x) \end{eqnarray*}$