行列式の性質を利用すると

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ -1 & -1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \\ -2 & -3 & -1 & 1 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \\ -2 & -3 & -1 & 1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 2 \\ 0 & -1 & -5 & 4 \\ -2 & -3 & -1 & 1 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 2 \\ 0 & -1 & -5 & 4 \\ 0 & 1 & 5 & 1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 6 & 2 \\ -1 & -5 & 4 \\  1 & 5 & 1 \end{vmatrix}\\[1em]  & = & \begin{vmatrix} 1 & 6 & 2 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 & 5 & 1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 6 & 2 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 6 \\ -1 & -1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & -1 - (-6) = 5 \end{eqnarray*}$

行列式の性質を利用すると

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & -3 \\ -2 & 5 & -4 & -1 \\ 1 & -1 & 2 & -1 \\ -4 & 4 & 3 & -1 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & 1 & 2 & -7 \\ 1 & -1 & 2 & -1 \\ -4 & 4 & 3 & -1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & 1 & 2 & -7 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ -4 & 4 & 3 & -1 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & 1 & 2 & -7 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -4 & 15 & -13 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 2 & -7 \\ 1 & -1 & 2 \\  -4 & 15 & -13 \end{vmatrix}\\[1em]  & = & \begin{vmatrix} 1 & 2 & -7 \\ 0 & -3 & 9 \\ -4 & 15 & -13 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 2 & -7 \\ 0 & -3 & 9 \\ 0 & 23 & -41 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} -3 & 9 \\ 23 & -41 \end{vmatrix}\\[1em] & = &123 - 207 = -84 \end{eqnarray*}$

行列式の性質を利用すると

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -4 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ -1 & -2 & -2 & 5 \\ 4 & 0 & -1 & 4 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & -4 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & -6 & 1 & 3 \\ 4 & 0 & -1 & 4 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -4 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & -6 & 1 & 3 \\ 0 & 16 & -13 & 12 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & -3 \\ -6 & 1 & 3 \\  16 & -13 & 12 \end{vmatrix}\\[1em]  & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 0 & -11 & -15 \\ 16 & -13 & 12 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 0 & -11 & -15 \\ 0 & 19 & 60 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} -11 & -15 \\ 19 & 60 \end{vmatrix}\\[1em] & = & -660 - (-285) = - 375 \end{eqnarray*}$

行列式の性質を利用すると

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -1 & -2 & 3 \\ 5 & -4 & 5 & -4 \\ 0 & -3 & 5 & -4 \\ -4 & -3 & -4 & 0 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & -1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 15 & -19 \\ 0 & -3 & 5 & -4 \\ -4 & -3 & -4 & 0 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 15 & -19 \\ 0 & -3 & 5 & -4 \\ 0 & -7 & -12 & 12 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 15 & -19 \\ -3 & 5 & -4 \\  -7 & -12 & 12 \end{vmatrix}\\[1em]  & = & \begin{vmatrix} 1 & 15 & -19 \\ 0 & 50 & -61 \\ -7 & -12 & 12 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 15 & -19 \\ 0 & 50 & -61 \\ 0 & 93 & -121 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 50 & -61 \\ 93 & -121 \end{vmatrix}\\[1em] & = &  \begin{vmatrix} 50 & -61 \\ -7 & 1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & 50 - 427 = -377 \end{eqnarray*}$

行列式の性質を利用すると

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & 3 \\ -1 & 3 & -1 & 1 \\ -3 & -2 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ -3 & -2 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & -8 & 7 & 7 \\ -2 & 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & -8 & 7 & 7 \\ 0 & -3 & 7 & 8 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -8 & 7 & 7 \\  -3 & 7 & 8 \end{vmatrix}\\[1em]  & = & \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 23 & 39 \\ -3 & 7 & 8 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 23 & 39 \\ 0 & 13 & 20 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 23 & 39 \\ 13 & 20 \end{vmatrix}\\[1em] & = & 460 - 507 = -47 \end{eqnarray*}$

行列式の性質を利用すると

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3 & 4 & 4 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 4 & 4 & 2 \end{vmatrix} & = & 4 \times \begin{vmatrix} 3 & 4 & 1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 1 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 1 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 1 & 4 & 2 \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-4) \times \begin{vmatrix} 1 & 4 & 3 & 3 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 4 & 2 & 4 & 4 \\ 1 & 4 & 4 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 3 & 4 & 2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & (-4) \times \begin{vmatrix} 1 & 4 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-4) \times \begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}\\[1em] & = & 4 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}\\[1em] & = & 4 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}\\[1em] & = & 4 \times \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}\\[1em] & = & 4 \times \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-4) \times \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}\\[1em]  & =& (-4) \times (2 - 9) = 28\end{eqnarray*}$

$1$ 行目から $2$ 行目を引くと

$ \begin{vmatrix} 3 & 4 & 3 & 4 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 4 & 4 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 4 & 4 & 3 \end{vmatrix}  =  \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 4 & 4 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 4 & 4 & 3 \end{vmatrix}$

右辺に対し, 行列式の性質を利用すると

$\begin{eqnarray*}\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 4 & 4 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 4 & 4 & 3 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 5 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 7 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 7 & 1 & 3 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 1 & 3 \\ 1 & 7 & 0 & 3 \\ 0 & 7 & 1 & 3 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 7 & 1 & 3 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix}  -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 7 & 1 & 3 \end{vmatrix}\\[1em] & = &(-1)\times \begin{vmatrix}  1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 7 & 1 & 3 \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-1)\times \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 10 \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-1)\times \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 10 \end{vmatrix}\\[1em] & = &-( -10 - 2) = 12 \end{eqnarray*}$

$1$ 行目から $2$ 行目を引くと

$\begin{vmatrix} 3 & -4 & 2 & -3 & 2 \\ 2 & -3 & 3 & -3 & 2 \\ -2 & -2 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & -2 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 3 & -3 & 2 \\ -2 & -2 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & -2 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 & 4 & 2 \end{vmatrix}$

$2$ 列目と $3$ 列目に $1$ 列目を加えると

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 3 & -3 & 2 \\ -2 & -2 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & -2 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 & 4 & 2 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 5 & -3 & 2 \\ -2 & -4 & 0 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 & 4 & 2 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} -1 & 5 & -3 & 2 \\ -4 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 4 & 2 \end{vmatrix} \\[1em] & = &(-1) \times \begin{vmatrix} 1 & -5 & 3 & -2 \\ -4 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 4 & 2 \end{vmatrix} \\[1em] & = &(-1) \times \begin{vmatrix} 1 & -5 & 3 & -2 \\ 0 & -20 & 15 & -12 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 14 & -5 & 8 \end{vmatrix} \\[1em] & = &(-1) \times \begin{vmatrix}  -20 & 15 & -12 \\  1 & 1 & 1 \\  14 & -5 & 8 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix}  1 & 1 & 1 \\  -20 & 15 & -12 \\ 14 & -5 & 8 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix}  1 & 1 & 1 \\  0 & 35 & 8 \\ 0 & -19 & -6 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} 35 & 8 \\ -19 & -6 \end{vmatrix} \\[1em] & = & -210 - (-152) = -58\end{eqnarray*}$

$1$ 列目と $3$ 列目が等しいので, $A$ の行列式は $0$ である。