$1$ 行目から $2$ 行目を引くと

$ $$\begin{vmatrix} 3 & 4 & 3 & 4 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 4 & 4 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 4 & 4 & 3 \end{vmatrix}$$   =  $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 4 & 4 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 4 & 4 & 3 \end{vmatrix}$$ $

右辺に対し, 行列式の性質を利用すると

$ $$\begin{eqnarray*}\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 4 & 4 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 4 & 4 & 3 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 5 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 7 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 7 & 1 & 3 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 1 & 3 \\ 1 & 7 & 0 & 3 \\ 0 & 7 & 1 & 3 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 7 & 1 & 3 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix}  -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 7 & 1 & 3 \end{vmatrix}\\[1em] & = &(-1)\times \begin{vmatrix}  1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 7 & 1 & 3 \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-1)\times \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 10 \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-1)\times \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 10 \end{vmatrix}\\[1em] & = &-( -10 - 2) = 12 \end{eqnarray*}$$ $