次の行列 $A$ の行列式として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 3 & -4 & 2 & -3 & 2 \\ 2 & -3 & 3 & -3 & 2 \\ -2 & -2 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & -2 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$
$-58$
$-133$
$-362$
$-4$
$1$ 行目から $2$ 行目を引くと
$\begin{vmatrix} 3 & -4 & 2 & -3 & 2 \\ 2 & -3 & 3 & -3 & 2 \\ -2 & -2 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & -2 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 3 & -3 & 2 \\ -2 & -2 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & -2 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 & 4 & 2 \end{vmatrix}$
$2$ 列目と $3$ 列目に $1$ 列目を加えると
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 3 & -3 & 2 \\ -2 & -2 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & -2 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 & 4 & 2 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 5 & -3 & 2 \\ -2 & -4 & 0 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 & 4 & 2 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} -1 & 5 & -3 & 2 \\ -4 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 4 & 2 \end{vmatrix} \\[1em] & = &(-1) \times \begin{vmatrix} 1 & -5 & 3 & -2 \\ -4 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 4 & 2 \end{vmatrix} \\[1em] & = &(-1) \times \begin{vmatrix} 1 & -5 & 3 & -2 \\ 0 & -20 & 15 & -12 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 14 & -5 & 8 \end{vmatrix} \\[1em] & = &(-1) \times \begin{vmatrix} -20 & 15 & -12 \\ 1 & 1 & 1 \\ 14 & -5 & 8 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -20 & 15 & -12 \\ 14 & -5 & 8 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 35 & 8 \\ 0 & -19 & -6 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} 35 & 8 \\ -19 & -6 \end{vmatrix} \\[1em] & = & -210 - (-152) = -58\end{eqnarray*}$