文字を含む行列の行列式 01 | アドウィンテクノ塾

次の行列 $A$ の行列式を因数分解したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$A = $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ bc & ca & ab \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix}$ $

$-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

$(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

$-(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)$

$abc(a+b+c)$

行列式の性質を用いると

$ $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ bc & ca & ab \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ bc & ca -bc & ab -bc \\ a^2 & b^2 -a^2 & c^2 - a^2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} -c(b -a) & -b(c-a) \\ (b+a)(b-a) & (c+a)(c-a) \end{vmatrix} \\[1em] & = & (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} -c & -b \\ b+a & c+a \end{vmatrix} \\[1em] & = & (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} -c & -b \\ a+b+c & a+b+c \end{vmatrix} \\[1em] & = & (b-a)(c-a)(a+b+c) \begin{vmatrix} -c & -b \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\[1em] & = & (b-a)(c-a)(a+b+c) (-c - (-b))\\[1em]& =& -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) \end{eqnarray*}$ $