次の行列 $A$ の行列式を因数分解したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ (b+c)^2 & (c+a)^2 & (a+b)^2 \end{pmatrix}$
$2(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
$-2(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
$(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
$-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
行列式の性質を用いると
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ (b+c)^2 & (c+a)^2 & (a+b)^2 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a^2 & b^2-a^2 & c^2 -a^2 \\ (b+c)^2 & (c+a)^2 - (b+c)^2 & (a+b)^2 - (b+c)^2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} (b-a)(b+a) & (c-a)(c+a) \\ (a-b)(a+b+2c) & (a-c)(a + 2b + c) \end{vmatrix} \\[1em] & = & (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} b+a & c+a \\ -(a+ b +2c) & -(a+ 2b +c) \end{vmatrix} \\[1em] & = & (a-b)(c-a) \begin{vmatrix} b+a & c+a \\ a+ b +2c & a+ 2b +c \end{vmatrix} \\[1em] & = & (a-b)(c-a) \begin{vmatrix} b+a & c+a \\ 2(a+b+c) & 2(a+b+c) \end{vmatrix} \\[1em] & = & 2(a-b)(c-a)(a+b+c) \begin{vmatrix} b+a & c+a \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\[1em] & = & 2(a-b)(c-a)(a+b+c) ((b+a) - (c+a))\\[1em]& =& 2(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) \end{eqnarray*}$