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次の行列 $A$ の行列式を因数分解したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = (111a2b2c2(b+c)2(c+a)2(a+b)2)$
$2(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
$-2(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
$(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
$-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
行列式の性質を用いると
$|111a2b2c2(b+c)2(c+a)2(a+b)2|=|100a2b2−a2c2−a2(b+c)2(c+a)2−(b+c)2(a+b)2−(b+c)2|=|(b−a)(b+a)(c−a)(c+a)(a−b)(a+b+2c)(a−c)(a+2b+c)|=(b−a)(c−a)|b+ac+a−(a+b+2c)−(a+2b+c)|=(a−b)(c−a)|b+ac+aa+b+2ca+2b+c|=(a−b)(c−a)|b+ac+a2(a+b+c)2(a+b+c)|=2(a−b)(c−a)(a+b+c)|b+ac+a11|=2(a−b)(c−a)(a+b+c)((b+a)−(c+a))=2(a−b)(b−c)(c−a)(a+b+c)$