空間内の $3$ つのベクトル

$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3),~\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3),~\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$

が作る四面体の体積を $V$ とすると

$V = \dfrac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \right|$

が成り立つ。よって

$\begin{eqnarray*} V & = & \dfrac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} -2 & -1 & -3 \\ 1 & -3 & 4 \\ -2 & 0 & -2 \end{vmatrix} \right|\\[1em] & = & \dfrac{1}{6}| -12 + 8 + 0 -0 -2 + 18 | \\[1em] & = & \dfrac{1}{6} \cdot 12 = 2 \end{eqnarray*}$

空間内の $3$ つのベクトル

$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3),~\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3),~\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$

が作る四面体の体積を $V$ とすると

$V = \dfrac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \right|$

が成り立つ。よって

$\begin{eqnarray*} V & = & \dfrac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} 3 & 4 & -2 \\ 5 & 0 & -4 \\ -2 & 2 & 4 \end{vmatrix} \right|\\[1em] & = & \dfrac{1}{6}| 0 + 32 - 20 + 24 - 80 - 0 | \\[1em] & = & \dfrac{1}{6} \cdot |-44| = \dfrac{22}{3} \end{eqnarray*}$

空間内の $3$ つのベクトル

$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3),~\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3),~\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$

が作る四面体の体積を $V$ とすると

$V = \dfrac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \right|$

が成り立つ。よって

$\begin{eqnarray*} V & = & \dfrac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} -4 & 0 & 2 \\ -2 & -2 & -4 \\ 4 & -4 & -2 \end{vmatrix} \right|\\[1em] & = & \dfrac{1}{6}| -16 + 0 + 16 + 64 - 0 + 16 | \\[1em] & = & \dfrac{1}{6} \cdot 80 = \dfrac{40}{3} \end{eqnarray*}$

空間内の $3$ つのベクトル

$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3),~\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3),~\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$

が作る四面体の体積を $V$ とすると

$V = \dfrac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \right|$

が成り立つ。よって

$\begin{eqnarray*} V & = & \dfrac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} -2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} \right|\\[1em] & = & \dfrac{1}{6}| - 2 + 0 + 0 - 6 - 0 - 0 | \\[1em] & = & \dfrac{1}{6} \cdot |-8| = \dfrac{4}{3} \end{eqnarray*}$

空間内の $3$ つのベクトル

$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3),~\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3),~\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$

が作る四面体の体積を $V$ とすると

$V = \dfrac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \right|$

が成り立つ。よって

$\begin{eqnarray*} V & = & \dfrac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 2 & 0 & -4 \\ 3 & -4 & 5 \end{vmatrix} \right|\\[1em] & = & \dfrac{1}{6}| 0 - 60 - 8 - 32 - 50 - 0 | \\[1em] & = & \dfrac{1}{6} \cdot | -150| = 25 \end{eqnarray*}$