正方行列 $A$ に対し

$A$ が正則 $\Leftrightarrow$ $|A| \not=0$

が成り立つ。

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 & -3 \\ 1 & -3 & 3 & -1 \\ 2 & -3 & -1 & -3 \end{vmatrix} & = & - \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & -3 \\ 2 & -1 & -1 & -2 \\ 1 & -3 & 3 & -1 \\ 2 & -3 & -1 & -3 \end{vmatrix}\\[1em]  & = & - \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & 3 & -7 & 4 \\ 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -7 & 3 \end{vmatrix}\\[1em] & = & - \begin{vmatrix} 3 & -7 & 4 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & -7 & 3 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -7 & 3 \\  -1 & 0 & 2 \\ 3 & -7 & 4 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -7 & 3 \\  0 & -7 & 5 \\ 0 & 14 & -5 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix}  -7 & 5 \\ 14 & -5 \end{vmatrix}\\[1em] & = & 35-70 = -35  \not=0 \end{eqnarray*}$

よってこの行列は正則である。