正方行列 $A$ に対し

$A$ が正則 $\Leftrightarrow$ $|A| \not=0$

が成り立つ。

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -8 & 4 & 5 & 1 \\ -1 & 2 & -5 & 3 \\ 4 & 2 & -6 & 4 \\ -4 & 6 & -1 & 5 \end{vmatrix} & = & - \begin{vmatrix} -1 & 2 & -5 & 3 \\ -8 & 4 & 5 & 1 \\  4 & 2 & -6 & 4 \\ -4 & 6 & -1 & 5 \end{vmatrix}\\[1em]  & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & 5 & -3 \\ -8 & 4 & 5 & 1 \\  4 & 2 & -6 & 4 \\ -4 & 6 & -1 & 5 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & 5 & -3 \\ 0 & -12 & 45 & -23 \\  0 & 10 & -26 & 16 \\ 0 & -2 & 19 & -7 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} -12 & 45 & -23 \\ 10 & -26 & 16 \\ -2 & 19 & -7 \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-2) \times \begin{vmatrix} 6 & 45 & -23 \\ -5 & -26 & 16 \\ 1 & 19 & -7 \end{vmatrix}\\[1em] & = & 2 \times \begin{vmatrix} 1 & 19 & -7 \\ -5 & -26 & 16 \\ 6 & 45 & -23  \end{vmatrix}\\[1em] & = & 2 \times \begin{vmatrix} 1 & 19 & -7 \\ 0 & 69 & -19 \\ 0 & -69 & 19  \end{vmatrix}\\[1em] & = &2 \times \begin{vmatrix} 69 & -19 \\ -69 & 19 \end{vmatrix}  = 0 \end{eqnarray*}$

よってこの行列は正則でない。