正方行列 $A$ に対し

$A$ が正則 $\Leftrightarrow$ $|A| \not=0$

が成り立つ。

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 0 & 3 \\ 1 & -2 & -2 & -3 \end{vmatrix} & = & - \begin{vmatrix}1 & -2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & -2 & -3 \end{vmatrix}\\[1em]  & = & - \begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 6 & 3 & -10 \\ 0 & 0 & -2 & -6 \end{vmatrix}\\[1em] & = & - \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 3 & -10 \\ 0 & -2 & -6 \end{vmatrix}\\[1em] & = & - \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -9 & -28 \\ 0 & -2 & -6 \end{vmatrix}\\[1em] & = & - \begin{vmatrix} -9 & -28 \\ -2 & -6 \end{vmatrix}\\[1em] & = & -(54-56) = 2  \not=0 \end{eqnarray*}$

よってこの行列は正則である。