行列式を利用した線形独立の判定
1
次の $3$ つの空間ベクトルは線形独立か線形従属か, 正しい方を以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{a} = (-6,2,0)$, $\overrightarrow{b} = (2,1,-5)$, $\overrightarrow{c} = (8,-1,-5)$
線形従属である
線形独立である
$3$ つの空間ベクトル
$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3)$, $\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3)$, $\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$
に対し,
$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ が線形独立であることと
$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \not= 0$
であることは同値である。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -6 & 2 & 8 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & -5 & -5 \end{vmatrix} & = & 30 + 0 - 80 + 30+ 20 + 0\\[1em] & = & 80-80 =0 \end{eqnarray*}$
よって $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形従属である。
2
次の $3$ つの空間ベクトルは線形独立か線形従属か, 正しい方を以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{a} = (-1,1,3)$, $\overrightarrow{b} = (7,-1,3)$, $\overrightarrow{c} = (2,0,2)$
線形従属である
線形独立である
$3$ つの空間ベクトル
$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3)$, $\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3)$, $\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$
に対し,
$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ が線形独立であることと
$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \not= 0$
であることは同値である。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -1 & 7 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix} & = & 2 + 0 + 6 - 0 - 14 + 6 \\[1em] & = & 14 - 14 =0 \end{eqnarray*}$
よって $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形従属である。
3
次の $3$ つの空間ベクトルは線形独立か線形従属か, 正しい方を以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{a} = (1,-1,-4)$, $\overrightarrow{b} = (0,4,0)$, $\overrightarrow{c} = (1,3,5)$
線形独立である
線形従属である
$3$ つの空間ベクトル
$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3)$, $\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3)$, $\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$
に対し,
$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ が線形独立であることと
$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \not= 0$
であることは同値である。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 4 & 3 \\ -4 & 0 & 5 \end{vmatrix} & = & 20 + 0 + 0 - 0 - 0 + 16 \\[1em] & = & 36 \not= 0 \end{eqnarray*}$
よって $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形独立である。
4
次の $3$ つの空間ベクトルは線形独立か線形従属か, 正しい方を以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{a} = (3,2,5)$, $\overrightarrow{b} = (4,3,3)$, $\overrightarrow{c} = (1,2,-1)$
線形独立である
線形従属である
$3$ つの空間ベクトル
$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3)$, $\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3)$, $\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$
に対し,
$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ が線形独立であることと
$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \not= 0$
であることは同値である。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 5 & 4 & -1 \end{vmatrix} & = & -9 + 40 + 8 - 24 + 8 - 15 \\[1em] & = & 56 - 48\\[1em] & = & 8 \not= 0 \end{eqnarray*}$
よって $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形独立である。
5
次の $3$ つの空間ベクトルは線形独立か線形従属か, 正しい方を以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{a} = (3,1,-4)$, $\overrightarrow{b} = (-4,-4,0)$, $\overrightarrow{c} = (-2,0,4)$
線形従属である
線形独立である
$3$ つの空間ベクトル
$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3)$, $\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3)$, $\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$
に対し,
$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ が線形独立であることと
$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \not= 0$
であることは同値である。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3 & -4 & -2 \\ 1 & -4 & 0 \\ -4 & 0 & 4 \end{vmatrix} & = & -48 + 0 + 0 - 0 + 16 + 32\\[1em] & = & 48-48 =0 \end{eqnarray*}$
よって $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形従属である。
平行六面体の体積
空間内の $3$ つのベクトル
$\overrightarrow{a} = (4,2,-4),~\overrightarrow{b} = (3,0,-2),~\overrightarrow{c} = (2,-2,5)$
が作る平行六面体の体積として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$30$
$5$
$10$
$15$
空間内の $3$ つのベクトル
$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3),~\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3),~\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$
が作る平行六面体の体積を $V$ とすると
$V = \left| \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \right|$
が成り立つ。よって
$\begin{eqnarray*} V & = & \left| \begin{vmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & -2 \\ -4 & -4 & 5 \end{vmatrix} \right| \\[1em] & = & |0 + 24 - 8 - 16 - 30 - 0 | \\[1em] & = & |-30|= 30\end{eqnarray*}$
2
空間内の $3$ つのベクトル
$\overrightarrow{a} = (5,3,1),~\overrightarrow{b} = (0,1,-1),~\overrightarrow{c} = (-1,3,2)$
が作る平行六面体の体積として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$29$
$27$
$3$
$1$
空間内の $3$ つのベクトル
$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3),~\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3),~\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$
が作る平行六面体の体積を $V$ とすると
$V = \left| \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \right|$
が成り立つ。よって
$\begin{eqnarray*} V & = & \left| \begin{vmatrix} 5 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} \right| \\[1em] & = & |10 + 0 + 3 + 15 - 0 + 1 | \\[1em] & = & 29 \end{eqnarray*}$
3
空間内の $3$ つのベクトル
$\overrightarrow{a} = (4,2,0),~\overrightarrow{b} = (-4,5,-4),~\overrightarrow{c} = (-1,-4,3)$
が作る平行六面体の体積として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$28$
$20$
$12$
$108$
空間内の $3$ つのベクトル
$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3),~\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3),~\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$
が作る平行六面体の体積を $V$ とすると
$V = \left| \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \right|$
が成り立つ。よって
$\begin{eqnarray*} V & = & \left| \begin{vmatrix} 4 & -4 & -1 \\ 2 & 5 & -4 \\ 0 & -4 & 3 \end{vmatrix} \right| \\[1em] & = & |60 + 0 + 8 - 64 + 24 - 0 | \\[1em] & = & 28 \end{eqnarray*}$
4
空間内の $3$ つのベクトル
$\overrightarrow{a} = (4,5,5),~\overrightarrow{b} = (4,-2,2),~\overrightarrow{c} = (3,2,0)$
が作る平行六面体の体積として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$84$
$24$
$116$
$56$
空間内の $3$ つのベクトル
$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3),~\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3),~\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$
が作る平行六面体の体積を $V$ とすると
$V = \left| \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \right|$
が成り立つ。よって
$\begin{eqnarray*} V & = & \left| \begin{vmatrix} 4 & 4 & 3 \\ 5 & -2 & 2 \\ 5 & 2 & 0 \end{vmatrix} \right| \\[1em] & = & |0 + 40 + 30 - 16 - 0 + 30 | \\[1em] & = & 84 \end{eqnarray*}$
5
空間内の $3$ つのベクトル
$\overrightarrow{a} = (-1,0,4),~\overrightarrow{b} = (4,4,4),~\overrightarrow{c} = (1,-3,-4)$
が作る平行六面体の体積として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$60$
$36$
$28$
$4$
空間内の $3$ つのベクトル
$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3),~\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3),~\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$
が作る平行六面体の体積を $V$ とすると
$V = \left| \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \right|$
が成り立つ。よって
$\begin{eqnarray*} V & = & \left| \begin{vmatrix} -1 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & -3 \\ 4 & 4 & -4 \end{vmatrix} \right| \\[1em] & = & |16 - 48 + 0 - 12 - 0 - 16 | \\[1em] & = & |-60|= 60\end{eqnarray*}$