内積の計算
1
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の大きさがそれぞれ $|\overrightarrow{a}| = 9$, $|\overrightarrow{b}| = 8$ であり, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角が $\pi$ である時, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積の値を以下の選択肢から選びなさい。
$-72$
$-36$
$72$
$36$
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角が $\theta$ である時, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ は
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$
である。よって
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 9\cdot 8\cdot \cos \pi = -72$
2
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の大きさがそれぞれ $|\overrightarrow{a}| = 4$, $|\overrightarrow{b}| = 9$ であり, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角が $\dfrac{\pi}{2}$ である時, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積の値を以下の選択肢から選びなさい。
$0$
$36$
$-36$
$18$
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角が $\theta$ である時, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ は
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$
である。よって
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 4\cdot 9\cdot \cos \dfrac{\pi}{2} = 0$
3
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の大きさがそれぞれ $|\overrightarrow{a}| = 2$, $|\overrightarrow{b}| = 1$ であり, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角が $\dfrac{\pi}{3}$ である時, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積の値を以下の選択肢から選びなさい。
$1$
$\sqrt{3}$
$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角が $\theta$ である時, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ は
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$
である。よって
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2\cdot 1\cdot \cos \dfrac{\pi}{3} = 1$
4
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の大きさがそれぞれ $|\overrightarrow{a}| = 9$, $|\overrightarrow{b}| = 8$ であり, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角が $\dfrac{\pi}{4}$ である時, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積の値を以下の選択肢から選びなさい。
$36\sqrt{2}$
$36$
$72\sqrt{2}$
$72$
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角が $\theta$ である時, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ は
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$
である。よって
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 9\cdot 8\cdot \cos \dfrac{\pi}{4} = 36\sqrt{2}$
5
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の大きさがそれぞれ $|\overrightarrow{a}| = 8$, $|\overrightarrow{b}| = 6$ であり, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角が $\dfrac{\pi}{6}$ である時, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積の値を以下の選択肢から選びなさい。
$24\sqrt{3}$
$24$
$24\sqrt{2}$
$24\sqrt{5}$
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角が $\theta$ である時, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ は
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$
である。よって
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 8\cdot 6\cdot \cos \dfrac{\pi}{6} = 24\sqrt{3}$
6
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の大きさがそれぞれ $|\overrightarrow{a}| = 1$, $|\overrightarrow{b}| = 3$ であり, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角が $0$ である時, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積の値を以下の選択肢から選びなさい。
$3$
$0$
$-3$
$1$
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角が $\theta$ である時, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ は
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$
である。よって
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1\cdot 3\cdot \cos 0 = 3$
7
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の大きさがそれぞれ $|\overrightarrow{a}| = 3$, $|\overrightarrow{b}| = 9$ であり, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角が $\dfrac{5}{6}\pi$ である時, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積の値を以下の選択肢から選びなさい。
$-\dfrac{27\sqrt{3}}{2}$
$\dfrac{27\sqrt{3}}{2}$
$-\dfrac{27}{2}$
$\dfrac{27}{2}$
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角が $\theta$ である時, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ は
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$
である。よって
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3\cdot 9\cdot \cos \dfrac{5}{6}\pi = -\dfrac{27\sqrt{3}}{2}$
8
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の大きさがそれぞれ $|\overrightarrow{a}| = 1$, $|\overrightarrow{b}| = 1$ であり, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角が $\dfrac{2}{3}\pi$ である時, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積の値を以下の選択肢から選びなさい。
$-\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{1}{2}$
$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角が $\theta$ である時, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ は
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$
である。よって
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1\cdot 1\cdot \cos \dfrac{2}{3}\pi = -\dfrac{1}{2}$
9
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の大きさがそれぞれ $|\overrightarrow{a}| = 6$, $|\overrightarrow{b}| = 7$ であり, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角が $\dfrac{3}{4}\pi$ である時, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積の値を以下の選択肢から選びなさい。
$-21\sqrt{2}$
$21\sqrt{2}$
$-42\sqrt{2}$
$42\sqrt{2}$
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角が $\theta$ である時, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ は
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$
である。よって
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 6\cdot 7\cdot \cos \dfrac{3}{4}\pi = -21\sqrt{2}$
線形結合
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{x}$ と $\overrightarrow{y}$ が次を満たしている時, $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} = (2,3),~~2\overrightarrow{x}+3\overrightarrow{y} = (4,7)$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} & = (2,2)\\ \overrightarrow{y} & = (0,1) \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned}\overrightarrow{x}& = (2,4)\\ \overrightarrow{y} & =(0,-1)\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned}\overrightarrow{x} &= (2,4)\\ \overrightarrow{y}&=(0,1)\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= (2,2)\\ \overrightarrow{y}&=(0,-1)\end{aligned} \right.$
$1$ 番目の式の両辺を $3$ 倍すると
$3\overrightarrow{x} + 3\overrightarrow{y} = (6,9)$
ここから $2$ 番目の式を引くと
$\overrightarrow{x} = (6,9) - (4,7) = (6-4,9-7) = (2,2)$
$1$ 番目の式に代入すると
$\overrightarrow{y} = (2,3) - \overrightarrow{x} = (2-2,3-2) = (0,1)$
以上より
$\overrightarrow{x} = (2,2),~\overrightarrow{y} = (0,1)$
である。
2
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{x}$ と $\overrightarrow{y}$ が次を満たしている時, $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} = (3,0),~~\overrightarrow{x}+3\overrightarrow{y} = (7,2)$
$\left\{ \begin{aligned}\overrightarrow{x} &= (1,-1)\\ \overrightarrow{y} &= (2,1)\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned}\overrightarrow{x} &= (-1,-2)\\ \overrightarrow{y} &= (4,2)\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned}\overrightarrow{x} &= (1,-1)\\ \overrightarrow{y} &= (4,2)\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned}\overrightarrow{x} &= (2,-2)\\ \overrightarrow{y} &= (1,2)\end{aligned} \right.$
$1$ 番目の式の両辺を $3$ 倍すると
$3\overrightarrow{x} + 3\overrightarrow{y} = (9,0)$
ここから $2$ 番目の式を引くと
$2\overrightarrow{x} = (9,0) - (7,2) = (9-7,0-2) = (2,-2)$
よって $\overrightarrow{x} = (1,-1)$
これを $1$ 番目の式に代入すると
$\overrightarrow{y} = (3,0) - \overrightarrow{x} = (3-1,0-(-1)) = (2,1)$
以上より
$\overrightarrow{x} = (1,-1),~\overrightarrow{y} = (2,1)$
である。
3
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{x}$ と $\overrightarrow{y}$ が次を満たしている時, $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} = (1,4),~~2\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y} = (8,-4)$
$\left\{ \begin{aligned}\overrightarrow{x} &= (3,0)\\ \overrightarrow{y}&=(-2,4)\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned}\overrightarrow{x} &= (5,0)\\ \overrightarrow{y}&=(2,4)\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned}\overrightarrow{x} &= (3,0)\\ \overrightarrow{y}&=(2,4)\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned}\overrightarrow{x} &= (5,0)\\ \overrightarrow{y}&=(-2,4)\end{aligned} \right.$
$1$ 番目の式に $2$ 番目の式を加えると
$3\overrightarrow{x} = (1,4) + (8,-4) = (1+8,4-4) = (9,0)$
よって
$\overrightarrow{x} = (3,0)$
$1$ 番目の式に代入すると
$\overrightarrow{y} = (1,4) - \overrightarrow{x} = (1-3,4-0) = (-2,4)$
以上より
$\overrightarrow{x} = (3,0),~\overrightarrow{y} = (-2,4)$
である。
4
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{x}$ と $\overrightarrow{y}$ が次を満たしている時, $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} = (1,3),~~5\overrightarrow{x}+6\overrightarrow{y} = (-2,16)$
$\left\{ \begin{aligned}\overrightarrow{x} &= (8,2)\\ \overrightarrow{y}&=(-7,1)\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned}\overrightarrow{x} &= (-4,2)\\ \overrightarrow{y}&=(3,1)\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned}\overrightarrow{x} &= (8,2)\\ \overrightarrow{y}&=(3,1)\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned}\overrightarrow{x} &= (-4,2)\\ \overrightarrow{y}&=(-7,1)\end{aligned} \right.$
$1$ 番目の式の両辺を $6$ 倍すると
$6\overrightarrow{x} + 6\overrightarrow{y} = (6,18)$
ここから $2$ 番目の式を引くと
$\overrightarrow{x} = (6,18) - (-2,16) = (6-(-2),18-16) = (8,2)$
$1$ 番目の式に代入すると
$\overrightarrow{y} = (1,3) - \overrightarrow{x} = (1-8,3-2) = (-7,1)$
以上より
$\overrightarrow{x} = (8,2),~\overrightarrow{y} = (-7,1)$
である。
5
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{x}$ と $\overrightarrow{y}$ が次を満たしている時, $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} = (3,4),~~4\overrightarrow{x}-2\overrightarrow{y} = (0,4)$
$\left\{ \begin{aligned}\overrightarrow{x} &= (1,2)\\ \overrightarrow{y}&=(2,2)\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned}\overrightarrow{x} &= (2,3)\\ \overrightarrow{y}&=(1,1)\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned}\overrightarrow{x} &= (1,3)\\ \overrightarrow{y}&=(2,1)\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned}\overrightarrow{x} &= (2,2)\\ \overrightarrow{y}&=(1,2)\end{aligned} \right.$
$1$ 番目の式の両辺を $2$ 倍すると
$2\overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y} = (6,8)$
ここに $2$ 番目の式を加えると
$6\overrightarrow{x} = (6,8) + (0,4) = (6+0,8+4) = (6,12)$
よって $\overrightarrow{x} = (1,2)$
$1$ 番目の式に代入すると
$\overrightarrow{y} = (3,4) - \overrightarrow{x} = (3-1,4-2) = (2,2)$
以上より
$\overrightarrow{x} = (1,2),~\overrightarrow{y} = (2,2)$
である。
6
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{x}$ と $\overrightarrow{y}$ が次を満たしている時, $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$2\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} = (-7,0),~~3\overrightarrow{x}-5\overrightarrow{y} = (-4,13)$
$\left\{ \begin{aligned}\overrightarrow{x} &= (-3,1)\\ \overrightarrow{y} &= (-1,-2)\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned}\overrightarrow{x} &= (2,2)\\ \overrightarrow{y} &= (2,-8)\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned}\overrightarrow{x} &= (2,1)\\ \overrightarrow{y} &= (2,-2)\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned}\overrightarrow{x} &= (-3,2)\\ \overrightarrow{y} &= (-1,-8)\end{aligned} \right.$
$1$ 番目の式の両辺を $5$ 倍すると
$10\overrightarrow{x} + 5\overrightarrow{y} = (-35,0)$
ここに $2$ 番目の式を加えると
$13\overrightarrow{x} = (-35,0) + (-4,13) = (-35-4,0+13) = (-39,13)$
よって $\overrightarrow{x} = (-3,1)$
$1$ 番目の式に代入すると
$\overrightarrow{y} = (-7,0) - 2\overrightarrow{x} = (-7-(-6),0-2) = (-1,-2)$
以上より
$\overrightarrow{x} = (-3,1),~\overrightarrow{y} = (-1,-2)$
である。