$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{{\rm OA}}$, $\overrightarrow{b} = \overrightarrow{{\rm OB}}$, $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{{\rm OC}}$ とすると

${\rm L}$ は線分 ${\rm AB}$ を $3:1$ に内分するので

$\overrightarrow{{\rm OL}} = \dfrac{ \overrightarrow{{\rm OA}} + 3\overrightarrow{{\rm OB}} }{3+1} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{a} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow{b} $

また ${\rm M}$ は線分 ${\rm BC}$ の中点なので

$\overrightarrow{{\rm OM}} = \dfrac{\overrightarrow{{\rm OB}} + \overrightarrow{{\rm OC}} }{2} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{c}$

${\rm P}$ は線分 ${\rm AM}$ 上にあるので

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm OP}} & = & \overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm AP}}\\[0.5em] & = & \overrightarrow{{\rm OA}} + t\overrightarrow{{\rm AM}}\\[0.5em] & = & (1-t)\overrightarrow{{\rm OA}} + t\overrightarrow{{\rm OM}}\\[0.5em] & = & (1-t)\overrightarrow{a} + \dfrac{t}{2} \overrightarrow{b} + \dfrac{t}{2}\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$

同様に ${\rm P}$ は線分 ${\rm CL}$ 上にあるので

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm OP}} & = & \overrightarrow{{\rm OC}} + \overrightarrow{{\rm CP}}\\[0.5em] & = & \overrightarrow{{\rm OC}} + s\overrightarrow{{\rm CL}}\\[0.5em] & = & (1-s)\overrightarrow{{\rm OC}} + s\overrightarrow{{\rm OL}}\\[0.5em] & = & \dfrac{s}{4}\overrightarrow{a} + \dfrac{3}{4}s \overrightarrow{b} + (1-s)\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$

よって

$(1-t)\overrightarrow{a} + \dfrac{t}{2} \overrightarrow{b} + \dfrac{t}{2}\overrightarrow{c} =  \dfrac{s}{4}\overrightarrow{a} + \dfrac{3}{4}s \overrightarrow{b} + (1-s)\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形独立であるから

$1- t = \dfrac{s}{4}~$,  $~\dfrac{t}{2} = \dfrac{3}{4}s ~$,  $~\dfrac{t}{2}= 1-s$

これを解くと $t= \dfrac{6}{7}$, $s = \dfrac{4}{7}$ となる。

よって

$\overrightarrow{{\rm OP}} = \dfrac{1}{7}\overrightarrow{a} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow{b} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow{c}$

${\rm OABC}$ は正四面体であるから

$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{c}| = 1$

また

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} =1\cdot 1\cdot  \cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$

に注意すると

$\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{{\rm OP}}|^2 & = & \left( \dfrac{1}{7}\overrightarrow{a} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow{b} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow{c} \right) \cdot \left( \dfrac{1}{7}\overrightarrow{a} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow{b} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow{c} \right) \\[1em] & = & \dfrac{1}{49} + \dfrac{9}{49} + \dfrac{9}{49} + 2\cdot \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{3}{49} + \dfrac{9}{49} + \dfrac{3}{49} \right) = \dfrac{34}{49}\end{eqnarray*}$

よって線分 ${\rm OP}$ の長さは $\dfrac{\sqrt{34}}{7}$ である。