$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$

とすると

$\left\{ \begin{aligned} a - 3b - 5c &=0 \\ -a + 4b - 5c&= 0 \\ 3a + b - 5c &= 0 \end{aligned} \right.$

$1$ つ目の式と $2$ つ目の式から

$b = 10c$

$1$ つ目の式に代入すると

$a = 35c$

他方, $3$ つ目の式に代入すると

$105c + 10c - 5c = 0$

整理すると $110c = 0$ となるので $c = 0$ であり, ここから $a =0$ かつ $b=0$ であることもわかる。

$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$ ならば $a=b=c=0$

が成り立つので, これらのベクトルは線形独立である。