$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$

とすると

$\left\{ \begin{aligned} a + b - c &=0 \\ -4a - 2b &= 0 \\ -5a + 4c &= 0 \end{aligned} \right.$

$2$ つ目の式から

$b = -2a$

$1$ つ目の式に代入すると

$a = -c$

他方, $3$ つ目の式より

$a = \dfrac{5}{4}c$

$-c = \dfrac{5}{4}c$ より $c = 0$ であり, ここから $a =0$ かつ $b=0$ であることもわかる。

$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$ ならば $a=b=c=0$

が成り立つので, これらのベクトルは線形独立である。