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次の $3$ つのベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ は線形独立か線形従属か, 以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (1, 4, -3)~~\overrightarrow{y} = (-4, 4, 2)~~\overrightarrow{z} = (-3, 0, 3)$
線形従属
線形独立
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\left\{ \begin{aligned} a - 4b -3c &=0 \\ 4a + 4b &= 0 \\ -3a + 2b + 3c &= 0 \end{aligned} \right.$
ここから
$b = -a$, $~~c = \dfrac{5}{3} a$
となるので $a = 3$ とすれば $b = -3$, $c = 5$ となる。すなわち
$3\overrightarrow{x} - 3\overrightarrow{y} + 5\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$
が成り立つ。
よってこれらのベクトルは線形従属である。