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次の $3$ つのベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ は線形独立か線形従属か, 以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (1, 5, 4)~~\overrightarrow{y} = (1, 4, -2)~~\overrightarrow{z} = (1, 3, 0)$
線形従属
線形独立
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\left\{ \begin{aligned} a + b + c &=0 \\ 5a + 4b + 3c &= 0 \\ 4a - 2b &= 0 \end{aligned} \right.$
ここから
$b = 2a$, $~~c = -3a$
となるので $a = 1$ とすれば $b = 2$, $c = -3$ となる。すなわち
$\overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y} - 3\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$
が成り立つ。
よってこれらのベクトルは線形従属である。