$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$

とすると

$\left\{ \begin{aligned} a + 3b - 4c &=0 \\ -2a - 2b &= 0 \\ -a - b - 2c &= 0 \end{aligned} \right.$

$2$ つ目の式から

$b = -a$

$1$ つ目の式に代入すると

$a = -2c$

これらを $3$ つ目の式に代入すると

$2c - 2c - 2c = 0$

整理すると $-2c=0$ であるから $c = 0$ であり, ここから $a =0$ かつ $b=0$ であることもわかる。

$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$ ならば $a=b=c=0$

が成り立つので, これらのベクトルは線形独立である。