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$1$ 辺の長さが $1$ の正四面体 ${\rm OABC}$ に対し, 辺 ${\rm AB}$ を $1:2$ に内分する点を ${\rm L}$, 線分 ${\rm BC}$ の中点を ${\rm M}$ とする。さらに線分 ${\rm AM}$ と線分 ${\rm CL}$ の交点を ${\rm P}$ とする。

この時 ${\rm OP}$ の長さとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$\dfrac{\sqrt{11}}{4}$

$\dfrac{\sqrt{22}}{4}$

$\dfrac{\sqrt{34}}{8}$

$\dfrac{\sqrt{17}}{8}$

$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{{\rm OA}}$, $\overrightarrow{b} = \overrightarrow{{\rm OB}}$, $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{{\rm OC}}$ とすると

${\rm L}$ は線分 ${\rm AB}$ を $1:2$ に内分するので

$\overrightarrow{{\rm OL}} = \dfrac{ 2\overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm OB}} }{1+2} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{b} $

また ${\rm M}$ は線分 ${\rm BC}$ の中点なので

$\overrightarrow{{\rm OM}} = \dfrac{\overrightarrow{{\rm OB}} + \overrightarrow{{\rm OC}} }{2} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{c}$

${\rm P}$ は線分 ${\rm AM}$ 上にあるので

$OP=OA+AP=OA+tAM=(1t)OA+tOM=(1t)a+t2b+t2c$

同様に ${\rm P}$ は線分 ${\rm CL}$ 上にあるので

$OP=OC+CP=OC+sCL=(1s)OC+sOL=23sa+s3b+(1s)c$

よって

$(1-t)\overrightarrow{a} + \dfrac{t}{2} \overrightarrow{b} + \dfrac{t}{2}\overrightarrow{c} =  \dfrac{2}{3}s\overrightarrow{a} + \dfrac{s}{3} \overrightarrow{b} + (1-s)\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形独立であるから

$1- t = \dfrac{2}{3}s~$,  $~\dfrac{t}{2} = \dfrac{s}{3} ~$,  $~\dfrac{t}{2}= 1-s$

これを解くと $t= \dfrac{1}{2}$, $s = \dfrac{3}{4}$ となる。

よって

$\overrightarrow{{\rm OP}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{c}$

${\rm OABC}$ は正四面体であるから

$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{c}| = 1$

また

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} =1\cdot 1\cdot  \cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$

に注意すると

$|OP|2=(12a+14b+14c)(12a+14b+14c)=14+116+116+212(18+116+18)=1116$

よって線分 ${\rm OP}$ の長さは $\dfrac{\sqrt{11}}{4}$ である。