次の $3$ つのベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ は線形独立か線形従属か, 以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (1, 4, -3)~~\overrightarrow{y} = (-4, 4, 2)~~\overrightarrow{z} = (-3, 0, 3)$
線形従属
線形独立
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\left\{ \begin{aligned} a - 4b -3c &=0 \\ 4a + 4b &= 0 \\ -3a + 2b + 3c &= 0 \end{aligned} \right.$
ここから
$b = -a$, $~~c = \dfrac{5}{3} a$
となるので $a = 3$ とすれば $b = -3$, $c = 5$ となる。すなわち
$3\overrightarrow{x} - 3\overrightarrow{y} + 5\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$
が成り立つ。
よってこれらのベクトルは線形従属である。
次の $3$ つのベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ は線形独立か線形従属か, 以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (1, -4, -5)~~\overrightarrow{y} = (1, -2, 0)~~\overrightarrow{z} = (-1, 0, 4)$
線形独立
線形従属
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\left\{ \begin{aligned} a + b - c &=0 \\ -4a - 2b &= 0 \\ -5a + 4c &= 0 \end{aligned} \right.$
$2$ つ目の式から
$b = -2a$
$1$ つ目の式に代入すると
$a = -c$
他方, $3$ つ目の式より
$a = \dfrac{5}{4}c$
$-c = \dfrac{5}{4}c$ より $c = 0$ であり, ここから $a =0$ かつ $b=0$ であることもわかる。
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$ ならば $a=b=c=0$
が成り立つので, これらのベクトルは線形独立である。
次の $3$ つのベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ は線形独立か線形従属か, 以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (1, -1, 3)~~\overrightarrow{y} = (-3, 4, 1)~~\overrightarrow{z} = (-5, -5, -5)$
線形独立
線形従属
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\left\{ \begin{aligned} a - 3b - 5c &=0 \\ -a + 4b - 5c&= 0 \\ 3a + b - 5c &= 0 \end{aligned} \right.$
$1$ つ目の式と $2$ つ目の式から
$b = 10c$
$1$ つ目の式に代入すると
$a = 35c$
他方, $3$ つ目の式に代入すると
$105c + 10c - 5c = 0$
整理すると $110c = 0$ となるので $c = 0$ であり, ここから $a =0$ かつ $b=0$ であることもわかる。
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$ ならば $a=b=c=0$
が成り立つので, これらのベクトルは線形独立である。
次の $3$ つのベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ は線形独立か線形従属か, 以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (1, 5, 4)~~\overrightarrow{y} = (1, 4, -2)~~\overrightarrow{z} = (1, 3, 0)$
線形従属
線形独立
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\left\{ \begin{aligned} a + b + c &=0 \\ 5a + 4b + 3c &= 0 \\ 4a - 2b &= 0 \end{aligned} \right.$
ここから
$b = 2a$, $~~c = -3a$
となるので $a = 1$ とすれば $b = 2$, $c = -3$ となる。すなわち
$\overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y} - 3\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$
が成り立つ。
よってこれらのベクトルは線形従属である。
次の $3$ つのベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ は線形独立か線形従属か, 以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (1, -2, -1)~~\overrightarrow{y} = (3, -2, -1)~~\overrightarrow{z} = (-4, 0, -2)$
線形独立
線形従属
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\left\{ \begin{aligned} a + 3b - 4c &=0 \\ -2a - 2b &= 0 \\ -a - b - 2c &= 0 \end{aligned} \right.$
$2$ つ目の式から
$b = -a$
$1$ つ目の式に代入すると
$a = -2c$
これらを $3$ つ目の式に代入すると
$2c - 2c - 2c = 0$
整理すると $-2c=0$ であるから $c = 0$ であり, ここから $a =0$ かつ $b=0$ であることもわかる。
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$ ならば $a=b=c=0$
が成り立つので, これらのベクトルは線形独立である。