$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$

とすると

$\left\{ \begin{aligned} a + b - c &=0 \\ -4a - 2b &= 0 \\ -5a + 4c &= 0 \end{aligned} \right.$

$2$ つ目の式から

$b = -2a$

$1$ つ目の式に代入すると

$a = -c$

他方, $3$ つ目の式より

$a = \dfrac{5}{4}c$

$-c = \dfrac{5}{4}c$ より $c = 0$ であり, ここから $a =0$ かつ $b=0$ であることもわかる。

$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$ ならば $a=b=c=0$

が成り立つので, これらのベクトルは線形独立である。

$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$

とすると

$\left\{ \begin{aligned} a - 3b - 5c &=0 \\ -a + 4b - 5c&= 0 \\ 3a + b - 5c &= 0 \end{aligned} \right.$

$1$ つ目の式と $2$ つ目の式から

$b = 10c$

$1$ つ目の式に代入すると

$a = 35c$

他方, $3$ つ目の式に代入すると

$105c + 10c - 5c = 0$

整理すると $110c = 0$ となるので $c = 0$ であり, ここから $a =0$ かつ $b=0$ であることもわかる。

$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$ ならば $a=b=c=0$

が成り立つので, これらのベクトルは線形独立である。

$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$

とすると

$\left\{ \begin{aligned} a + b + c &=0 \\ 5a + 4b + 3c &= 0 \\ 4a - 2b  &= 0 \end{aligned} \right.$

ここから

$b = 2a$, $~~c = -3a$

となるので $a = 1$ とすれば $b = 2$, $c = -3$ となる。すなわち

$\overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y} - 3\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$

が成り立つ。

よってこれらのベクトルは線形従属である。

$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$

とすると

$\left\{ \begin{aligned} a + 3b - 4c &=0 \\ -2a - 2b &= 0 \\ -a - b - 2c &= 0 \end{aligned} \right.$

$2$ つ目の式から

$b = -a$

$1$ つ目の式に代入すると

$a = -2c$

これらを $3$ つ目の式に代入すると

$2c - 2c - 2c = 0$

整理すると $-2c=0$ であるから $c = 0$ であり, ここから $a =0$ かつ $b=0$ であることもわかる。

$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$ ならば $a=b=c=0$

が成り立つので, これらのベクトルは線形独立である。