$A$ に対し行基本変形を行っていくと

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 \\ -4 & 4 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \end{pmatrix} & \xrightarrow{(2) + 4 \times (1) } & \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 \\ 0 & 20 & -10 \\ -3 & 0 & 3 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{(2) \div 20 } & \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 \\ 0 & 2 & 1 \\ -3 & 0 & 3 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) + 3 \times (1) } & \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 12 & -6 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) - 6\times (2) } & \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

$0$ でない成分を含む行が $2$ つあるので ${\rm rank} ~ A = 2$ である。

$A$ に対し行基本変形を行っていくと

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -4 & -2 & 0 \\ -5 & 0 & 4 \end{pmatrix} & \xrightarrow{(2) + 4 \times (1) } & \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -4 \\ -5 & 0 & 4 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{(2) \div 2 } & \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ -5 & 0 & 4 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) + 5 \times (1) } & \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 5 & -1 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) - 5 \times (2) } & \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

$0$ でない成分を含む行が $3$ つあるので ${\rm rank} ~ A = 3$ である。

$A$ に対し行基本変形を行っていくと

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} & \xrightarrow{(2) - (1) } & \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) - (1) } & \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

$0$ でない成分を含む行が $1$ つあるので ${\rm rank} ~ A = 1$ である。

$A$ に対し行基本変形を行っていくと

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ -5 & -4 & 4 \\ -5 & -4 & 0 \end{pmatrix} & \xrightarrow{(2) + 5\times (1) } & \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ 0 & 11 & -16 \\ -5 & -4 & 0 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) + 5 \times (1) } & \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ 0 & 11 & -16 \\ 0 & 11 & -20 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) - (2) } & \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ 0 & 11 & -16 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

$0$ でない成分を含む行が $3$ つあるので ${\rm rank} ~ A = 3$ である。

$A$ に対し行基本変形を行っていくと

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 4 & -4 \\ -1 & -2 & 2 \end{pmatrix} & \xrightarrow{(2) - 2\times (1) } & \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & 2 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) + (1) } & \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

$0$ でない成分を含む行が $1$ つあるので ${\rm rank} ~ A = 1$ である。

$A$ に対し行基本変形を行っていくと

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 3 \\ -4 & -2 & 0 \end{pmatrix} & \xrightarrow{(2) - 5 \times (1) } & \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ -4 & -2 & 0 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{-1 \times (2) } & \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ -4 & -2 & 0 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) + 4 \times (1) } & \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) - 2 \times (2) } & \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

$0$ でない成分を含む行が $2$ つあるので ${\rm rank} ~ A = 2$ である。

$A$ に対し行基本変形を行っていくと

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 \\ 1 & -3 & -1 \\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix} & \xrightarrow{(2) - (1) } & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) + (1) } & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & -2 & 6 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) + 2 \times (2) } & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

$0$ でない成分を含む行が $2$ つあるので ${\rm rank} ~ A = 2$ である。

$A$ に対し行基本変形を行っていくと

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ -5 & -5 & -5 \end{pmatrix} & \xrightarrow{(2) + 3 \times (1) } & \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 10 \\ -5 & -5 & -5 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) + 5 \times (1) } & \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 10 \\ 0 & -10 & 10 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) + 10 \times (2) } & \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 10 \\ 0 & 0 & 110 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

$0$ でない成分を含む行が $3$ つあるので ${\rm rank} ~ A = 3$ である。