次の行列 $A$ の階数として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$
$2$
$3$
$1$
$0$
行基本変形をすると
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -2 \end{pmatrix}$
$0$ でない成分を含む行が $2$ つあるので, ${\rm rank}~A = 2$ である。
次の行列 $A$ の階数として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 0 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$
$2$
$0$
$1$
$3$
行基本変形をすると
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 0 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & -4 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$0$ でない成分を含む行が $2$ つあるので, ${\rm rank}~A = 2$ である。
次の行列 $A$ の階数として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 5 & 1 & 0 & 7 \\ 6 & 9 & 8 & 4 \end{pmatrix}$
$3$
$4$
$2$
$1$
行基本変形をすると
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 5 & 9 & 0 & 7 \\ 6 & 9 & 8 & 4 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & -1 & -15 & 7 \\ 0 & -3 & -10 & 4 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 15 & -7 \\ 0 & -3 & -10 & 4 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 15 & -7 \\ 0 & 0 & 35 & -17 \end{pmatrix}\\[1em] \end{eqnarray*}$
$0$ でない成分を含む行が $3$ つあるので, ${\rm rank}~A = 3$ である。
次の行列 $A$ の階数として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$3$
$4$
$2$
$5$
$1$ 行目から $3$ 行目の $2$ 倍を引くと
$\begin{pmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
さらに行基本変形をすると
$\begin{eqnarray*}\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 11 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -21 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em]& \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$0$ でない成分を含む行が $3$ つあるので, ${\rm rank}~A = 3$ である。
次の行列 $A$ の階数として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 4 & -1 \\ -1 & 4 & -2 & 3 & -3 \\ 2 & -2 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 8 & -2 & 11 & -5 \end{pmatrix}$
$2$
$3$
$4$
$5$
行基本変形をすると
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 4 & -1 \\ -1 & 4 & -2 & 3 & -3 \\ 2 & -2 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 8 & -2 & 11 & -5 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 6 & -2 & 7 & -4 \\ 0 & -6 & 2 & -7 & 4 \\ 0 & 6 & -2 & 7 & -4 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 6 & -2 & 7 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$0$ でない成分を含む行が $2$ つあるので, ${\rm rank}~A = 2$ である。