行列 $A = \begin{pmatrix} 6 & 4 & -1 \\ -7 & -5 & 1 \\ 5 & 8 & 2 \end{pmatrix}$ と, 列ベクトル $\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{b}= \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix} $ が
$A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b}$
を満たす時, $\overrightarrow{x}$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$
$A$ と単位行列 $E$ を並べた行列 $(A~E)$ に行基本変形を行うと
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 & 4 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ -7 & -5 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 8 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 & 1 & 0 & -1 \\ -7 & -5 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 8 & 2 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & -33 & -20 & 7 & 1 & -7 \\ 0 & 28 & 17 & -5 & 0 & 6 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & -5 & -3 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 28 & 17 & -5 & 0 & 6 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & -5 & -3 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 2 & 5 & 5 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 12 & 11 & 1 \\ 0 & 3 & 2 & 5 & 5 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 49 & 44 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 12 & 11 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -31 & -28 & -2 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 49 & 44 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 12 & 11 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 31 & 28 & 2 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 18 & 16 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -19 & -17 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 31 & 28 & 2 \end{pmatrix}\\[1em] \end{eqnarray*}$
よって
$A^{-1} = \begin{pmatrix} 18 & 16 & 1 \\ -19 & -17 & -1 \\ 31 & 28 & 2 \end{pmatrix}$
である。
$A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b}$
の左から $A^{-1}$ を掛けると
$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{x} & = & A^{-1}\overrightarrow{b}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 18 & 16 & 1 \\ -19 & -17 & -1 \\ 31 & 28 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$