$A$ に対し行基本変形を行っていくと

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ -5 & -4 & 4 \\ -5 & -4 & 0 \end{pmatrix} & \xrightarrow{(2) + 5\times (1) } & \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ 0 & 11 & -16 \\ -5 & -4 & 0 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) + 5 \times (1) } & \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ 0 & 11 & -16 \\ 0 & 11 & -20 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) - (2) } & \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ 0 & 11 & -16 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

$0$ でない成分を含む行が $3$ つあるので ${\rm rank} ~ A = 3$ である。