階数の計算
1
次の行列 $A$ の階数が $2$ である時, $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 \\ 1 & -1 & a \\ 2 & -3 & a \end{pmatrix}$
$-2$
$3$
$10$
$0$
基本変形により
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 \\ 1 & -1 & a \\ 2 & -3 & a \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 \\ 0 & 3 & a-4 \\ 0 & 5 & a-8 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & \dfrac{a-4}{3} \\ 0 & 5 & a-8 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & \dfrac{a-4}{3} \\ 0 & 0 & -\dfrac{2}{3}(a+2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
階数が $2$ である時
$-\dfrac{2}{3}(a+2)=0$
よって $a=-2$ である。
2
次の行列 $A$ の階数が $2$ である時, $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
ただし $a\not=0$ とする。
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -3 & a & 5 \\ a & a & -2 \end{pmatrix}$
$4$
$2$
$-2$
$0$
基本変形により
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -3 & a & 5 \\ a & a & -2 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & a & 2 \\ 0 & a & a -2 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & a & 2 \\ 0 & 0 & a-4 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$
$a\not=0$ より, $A$ の階数が $2$ である時
$a-4=0$
よって $a=4$ である。
3
次の行列 $A$ の階数が $2$ である時, $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -4 & 1 & -a \\ 4 & a & 0 \end{pmatrix}$
$2$
$4$
$8$
$6$
基本変形により
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -4 & 1 & -a \\ 4 & a & 0 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 9 & -a -4 \\ 0 & a-8 & 4 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -\dfrac{1}{9}(a+4) \\ 0 & a-8 & 4 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -\dfrac{1}{9}(a+4) \\ 0 & 0 & 4 + \dfrac{1}{9}(a+4)(a-8) \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$
$A$ の階数が $2$ の時
$4 + \dfrac{1}{9}(a+4)(a-8) = 0$
ここで
$\begin{eqnarray*} 4 + \dfrac{1}{9}(a+4)(a-8) & = & \dfrac{1}{9} ( 36 + a^2 - 4a - 32)\\[1em] & = & \dfrac{1}{9}(a^2 - 4a + 4)\\[1em] & = & \dfrac{1}{9}(a-2)^2 =0 \end{eqnarray*}$
よって $a=2$ である。
4
次の行列 $A$ の階数が $2$ である時, $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -4 & 3 & a+2 \\ 2 & a & 2 \end{pmatrix}$
$0$
$2$
$-2$
$-4$
行基本変形により
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -4 & 3 & a+2 \\ 2 & a & 2 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & a-2 \\ 0 & a +2 & 4 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & a-2 \\ 0 & 0 & 4 + (a-2)(a+2) \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$
$A$ の階数が $2$ の時
$\begin{eqnarray*} 4 + (a-2)(a+2) & = & 4 + (a^2 - 4)\\[1em] & = & a^2 = 0 \end{eqnarray*}$
よって $a=0$ である。
5
次の行列 $A$ の階数が $2$ である時, $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 4 & a \\ -1 & -a & 3 \end{pmatrix}$
$2$
$4$
$1$
$3$
行基本変形により
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 4 & a \\ -1 & -a & 3 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 4 & a \\ 0 & -a+4 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & \dfrac{a}{4} \\ 0 & -a+4 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & \dfrac{a}{4} \\ 0 & 0 & 1 + \dfrac{a(a-4)}{4} \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$
$A$ の階数が $2$ である時
$\begin{eqnarray*} 1 + \dfrac{a(a-4)}{4} & = & \dfrac{1}{4}(4 + a(a-4))\\[1em] & = & \dfrac{1}{4}(a^2 - 4a +4)\\[1em] & = & \dfrac{1}{4}(a-2)^2 = 0 \end{eqnarray*}$
よって $a=2$ である。
非正方行列の階数
1
次の行列 $A$ の階数として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$
$2$
$3$
$1$
$0$
行基本変形をすると
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -2 \end{pmatrix}$
$0$ でない成分を含む行が $2$ つあるので, ${\rm rank}~A = 2$ である。
2
次の行列 $A$ の階数として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 0 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$
$2$
$0$
$1$
$3$
行基本変形をすると
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 0 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & -4 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$0$ でない成分を含む行が $2$ つあるので, ${\rm rank}~A = 2$ である。
3
次の行列 $A$ の階数として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 5 & 1 & 0 & 7 \\ 6 & 9 & 8 & 4 \end{pmatrix}$
$3$
$4$
$2$
$1$
行基本変形をすると
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 5 & 9 & 0 & 7 \\ 6 & 9 & 8 & 4 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & -1 & -15 & 7 \\ 0 & -3 & -10 & 4 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 15 & -7 \\ 0 & -3 & -10 & 4 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 15 & -7 \\ 0 & 0 & 35 & -17 \end{pmatrix}\\[1em] \end{eqnarray*}$
$0$ でない成分を含む行が $3$ つあるので, ${\rm rank}~A = 3$ である。
4
次の行列 $A$ の階数として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$3$
$4$
$2$
$5$
$1$ 行目から $3$ 行目の $2$ 倍を引くと
$\begin{pmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
さらに行基本変形をすると
$\begin{eqnarray*}\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 11 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -21 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em]& \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$0$ でない成分を含む行が $3$ つあるので, ${\rm rank}~A = 3$ である。
5
次の行列 $A$ の階数として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 4 & -1 \\ -1 & 4 & -2 & 3 & -3 \\ 2 & -2 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 8 & -2 & 11 & -5 \end{pmatrix}$
$2$
$3$
$4$
$5$
行基本変形をすると
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 4 & -1 \\ -1 & 4 & -2 & 3 & -3 \\ 2 & -2 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 8 & -2 & 11 & -5 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 6 & -2 & 7 & -4 \\ 0 & -6 & 2 & -7 & 4 \\ 0 & 6 & -2 & 7 & -4 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 6 & -2 & 7 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$0$ でない成分を含む行が $2$ つあるので, ${\rm rank}~A = 2$ である。