$A$ に対し行基本変形を行っていくと

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 \\ 1 & -3 & -1 \\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix} & \xrightarrow{(2) - (1) } & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) + (1) } & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & -2 & 6 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) + 2 \times (2) } & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

$0$ でない成分を含む行が $2$ つあるので ${\rm rank} ~ A = 2$ である。