$A$ に対し行基本変形を行っていくと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -4 & -2 & 0 \\ -5 & 0 & 4 \end{pmatrix} & \xrightarrow{(2) + 4 \times (1) } & \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -4 \\ -5 & 0 & 4 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{(2) \div 2 } & \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ -5 & 0 & 4 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) + 5 \times (1) } & \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 5 & -1 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) - 5 \times (2) } & \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$0$ でない成分を含む行が $3$ つあるので ${\rm rank} ~ A = 3$ である。