$A$ に対し行基本変形を行っていくと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ -5 & -5 & -5 \end{pmatrix} & \xrightarrow{(2) + 3 \times (1) } & \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 10 \\ -5 & -5 & -5 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) + 5 \times (1) } & \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 10 \\ 0 & -10 & 10 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) + 10 \times (2) } & \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 10 \\ 0 & 0 & 110 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$0$ でない成分を含む行が $3$ つあるので ${\rm rank} ~ A = 3$ である。