$A$ に対し行基本変形を行っていくと

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} & \xrightarrow{(2) - (1) } & \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) - (1) } & \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

$0$ でない成分を含む行が $1$ つあるので ${\rm rank} ~ A = 1$ である。