$A$ に対し行基本変形を行っていくと

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 \\ -4 & 4 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \end{pmatrix} & \xrightarrow{(2) + 4 \times (1) } & \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 \\ 0 & 20 & -10 \\ -3 & 0 & 3 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{(2) \div 20 } & \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 \\ 0 & 2 & 1 \\ -3 & 0 & 3 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) + 3 \times (1) } & \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 12 & -6 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ (3) - 6\times (2) } & \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

$0$ でない成分を含む行が $2$ つあるので ${\rm rank} ~ A = 2$ である。