$A$ と単位行列 $E$ を並べた行列 $(A~E)$ に行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 & 5 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ -4 & 5 & 1 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ -3 & 5 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ -4 & 5 & 1 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 14 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 17 & 0 & 4 & 1\end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 17 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & 14 & 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 21 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 1 & 17 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & -20 & 1 & -5 & -2 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 21 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 1 & 17 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -\dfrac{1}{20} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{10} \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \dfrac{21}{20} & - \dfrac{1}{4} & -\dfrac{11}{10} \\ 0 & 1 & 0 & \dfrac{17}{20} & -\dfrac{1}{4} & -\dfrac{7}{10} \\ 0 & 0 & 1 & -\dfrac{1}{20} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{10} \end{pmatrix}\\[1em]  \end{eqnarray*}$

よって

$A^{-1} = \dfrac{1}{20}\begin{pmatrix} 21 & -5 & -22 \\ 17 & -5 & -14 \\ -1 & 5 & 2 \end{pmatrix}$

である。

$A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b}$

の左から $A^{-1}$ を掛けると

$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{x} & = & A^{-1}\overrightarrow{b}\\[1em] & = & \dfrac{1}{20}\begin{pmatrix} 21 & -5 & -22 \\ 17 & -5 & -14 \\ -1 & 5 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -28 \\ 2 \\ -29 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \dfrac{1}{20} \begin{pmatrix} 40 \\ -80 \\ -20 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$A$ と単位行列 $E$ を並べた行列 $(A~E)$ に行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & -3 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & -3 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 4 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & -6 & -4 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 4 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \dfrac{4}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\dfrac{5}{3} & -\dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \dfrac{4}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\dfrac{5}{3} & -\dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \dfrac{4}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \dfrac{1}{6} & \dfrac{11}{12} & \dfrac{5}{12} \\ 0 & 1 & 0 & -\dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} \end{pmatrix}\\[1em] \end{eqnarray*}$

よって

$A^{-1} = \dfrac{1}{12}\begin{pmatrix} 2 & 11 & 5 \\ -4 & -4 & -4 \\ 6 & 9 & 3 \end{pmatrix}$

である。

$A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b}$

の左から $A^{-1}$ を掛けると

$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{x} & = & A^{-1}\overrightarrow{b}\\[1em] & = & \dfrac{1}{12}\begin{pmatrix} 2 & 11 & 5 \\ -4 & -4 & -4 \\ 6 & 9 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 10 \\ -13 \\ 15 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \dfrac{1}{12} \begin{pmatrix} -48 \\ -48 \\ -12 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$A$ と単位行列 $E$ を並べた行列 $(A~E)$ に行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -11 & 8 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -4 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} -1 & -4 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 4 & -2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -11 & 8 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 & 0 & 0 & -1 \\ 4 & -2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -11 & 8 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & -18 & 13 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & -11 & 8 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$2$ 行目から $3$ 行目の $2$ 倍を引くと

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & -18 & 13 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & -11 & 8 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -3 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & -11 & 8 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$3$ 行目に $2$ 行目の $3$ 倍を加えると

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -3 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & -11 & 8 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -3 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & -5 & 3 & 12 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & -5 \\ 0 & 4 & -3 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & -5 & 3 & 12 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & -5 \\ 0 & 1 & -1 & -5 & 3 & 12 \\ 0 & 4 & -3 & -2 & 1 & 4\end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & -5 \\ 0 & 1 & -1 & -5 & 3 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 18 & -11 & -44 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & 13 & -8 & -32 \\ 0 & 0 & 1 & 18 & -11 & -44 \end{pmatrix} \end{eqnarray*} $

よって

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -5 \\ 13 & -8 & -32 \\ 18 & -11 & -44 \end{pmatrix}$

である。

$A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b}$

の左から $A^{-1}$ を掛けると

$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{x} & = & A^{-1}\overrightarrow{b}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2 & -1 & -5 \\ 13 & -8 & -32 \\ 18 & -11 & -44 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$A$ と単位行列 $E$ を並べた行列 $(A~E)$ に行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & -4 & 1 & 0 & 0 \\ 7 & 14 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 8 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 2 & 3 & -4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 10 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 7 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 5 & 10 & -3 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -4 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 2 & 7 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 5 & 10 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & -7 & -24 & 7 & -2 & 0 \\  0 & 2 & 7 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 5 & 10 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & -1 & -2 & 4 \\  0 & 2 & 7 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -10 & 2 & 11 & -20 \\ 0 & 1 & 4 & -1 & -2 & 4 \\  0 & 0 & -1 & 0 & 4 & -7 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -10 & 2 & 11 & -20 \\ 0 & 1 & 4 & -1 & -2 & 4 \\  0 & 0 & 1 & 0 & -4 & 7 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & -29 & 50 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 14 & -24 \\  0 & 0 & 1 & 0 & -4 & 7 \end{pmatrix}\\[1em]  \end{eqnarray*}$

よって

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -29 & 50 \\ -1 & 14 & -24 \\ 0 & -4 & 7 \end{pmatrix}$

である。

$A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b}$

の左から $A^{-1}$ を掛けると

$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{x} & = & A^{-1}\overrightarrow{b}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2 & -29 & 50 \\ -1 & 14 & -24 \\ 0 & -4 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$A$ と単位行列 $E$ を並べた行列 $(A~E)$ に行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 & 4 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ -7 & -5 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 8 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 & 1 & 0 & -1 \\ -7 & -5 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 8 & 2 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & -33 & -20 & 7 & 1 & -7 \\ 0 & 28 & 17 & -5 & 0 & 6 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & -5 & -3 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 28 & 17 & -5 & 0 & 6 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & -5 & -3 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 2 & 5 & 5 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 12 & 11 & 1 \\ 0 & 3 & 2 & 5 & 5 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 49 & 44 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 12 & 11 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -31 & -28 & -2 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 49 & 44 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 12 & 11 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 31 & 28 & 2 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 18 & 16 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -19 & -17 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 31 & 28 & 2 \end{pmatrix}\\[1em]  \end{eqnarray*}$

よって

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 18 & 16 & 1 \\ -19 & -17 & -1 \\ 31 & 28 & 2 \end{pmatrix}$

である。

$A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b}$

の左から $A^{-1}$ を掛けると

$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{x} & = & A^{-1}\overrightarrow{b}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 18 & 16 & 1 \\ -19 & -17 & -1 \\ 31 & 28 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$