$4$ 点が同一平面上にある時, $3$ つのベクトル $\overrightarrow{{\rm DA}}$, $\overrightarrow{{\rm DB}}$, $\overrightarrow{{\rm DC}}$ は線形従属である。

$\overrightarrow{{\rm DA}} = (a-5, 4, 1)$

$\overrightarrow{{\rm DB}} = (3, -7, -2)$

$\overrightarrow{{\rm DC}} = (0, -9, -3)$

であるから

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a-5 & 3 & 0 \\ 4 & -7 & -9 \\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

であればよい。

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a-5 & 3 & 0 \\ 4 & -7 & -9 \\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix} & = & 21(a-5) - 27 + 0 - 18(a-5) + 36 - 0\\[1em] & = & 3(a-5) + 9\\[1em] & = & 3a - 6 = 0 \end{eqnarray*}$

よって $a= 2$ である。

$4$ 点が同一平面上にある時, $3$ つのベクトル $\overrightarrow{{\rm AB}}$, $\overrightarrow{{\rm AC}}$, $\overrightarrow{{\rm AD}}$ は線形従属である。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = (b, -4, 2)$

$\overrightarrow{{\rm AC}} = (-2, 2, 3)$

$\overrightarrow{{\rm AD}} = (4, -2, -19)$

であるから

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} b & -2 & 4 \\ -4 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & -19 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

であればよい。

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} b & -2 & 4 \\ -4 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & -19 \end{vmatrix} & = & -38b + 8 - 48 + 6b + 152 - 16 \\[1em] & = & -32b +  96 = 0 \end{eqnarray*}$

よって $b= 3$ である。

$4$ 点が同一平面上にある時, $3$ つのベクトル $\overrightarrow{{\rm AB}}$, $\overrightarrow{{\rm AC}}$, $\overrightarrow{{\rm AD}}$ は線形従属である。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = (1, 3, 1)$

$\overrightarrow{{\rm AC}} = (2, c+4, 3)$

$\overrightarrow{{\rm AD}} = (-1, 7, -3)$

であるから

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & c+4 & 7 \\ 1 & 3 & -3 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

であればよい。

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & c+4 & 7 \\ 1 & 3 & -3 \end{vmatrix} & = & -3(c+4) + 14 - 9 - 21 + 18 + (c+4) \\[1em] & = & -2(c+4) +  2\\[1em] & = & -2c -6 = 0 \end{eqnarray*}$

よって $c= -3$ である。

$4$ 点が同一平面上にある時, $3$ つのベクトル $\overrightarrow{{\rm AB}}$, $\overrightarrow{{\rm AC}}$, $\overrightarrow{{\rm AD}}$ は線形従属である。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = (-2, -6, 4)$

$\overrightarrow{{\rm AC}} = (-8, -2, 1)$

$\overrightarrow{{\rm AD}} = (5, -7, d-1)$

であるから

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -2 & -8 & 5 \\ -6 & -2 & -7 \\ 4 & 1 & d-1 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

であればよい。

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -2 & -8 & 5 \\ -6 & -2 & -7 \\ 4 & 1 & d-1 \end{vmatrix} & = & 4(d-1) + 224 - 30 - 14 - 48(d-1) + 40 \\[1em] & = & -44(d-1) + 220\\[1em] & = & -44d  + 264 = 0 \end{eqnarray*}$

よって $d= 6$ である。

$4$ 点が同一平面上にある時, $3$ つのベクトル $\overrightarrow{{\rm AB}}$, $\overrightarrow{{\rm AC}}$, $\overrightarrow{{\rm AD}}$ は線形従属である。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = (2, 2, -3)$

$\overrightarrow{{\rm AC}} = (4, 3, -5)$

$\overrightarrow{{\rm AD}} = (d-1, 4, -3)$

であるから

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 4 & d-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ -3 & -5 & -3 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

であればよい。

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 4 & d-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ -3 & -5 & -3 \end{vmatrix} & = & -18 - 48 - 10(d-1) + 40 + 24 +9(d-1) \\[1em] & = & -(d-1) - 2 \\[1em] & = & -d  -1 = 0 \end{eqnarray*}$

よって $d= -1$ である。

$4$ 点が同一平面上にある時, $3$ つのベクトル $\overrightarrow{{\rm AB}}$, $\overrightarrow{{\rm AC}}$, $\overrightarrow{{\rm AD}}$ は線形従属である。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = (-1, 5, -3)$

$\overrightarrow{{\rm AC}} = (-2, 4, c+ 2)$

$\overrightarrow{{\rm AD}} = (3, 1, 9)$

であるから

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -1 & -2 & 3 \\ 5 & 4 & 1 \\ -3 & c+2 & 9 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

であればよい。

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -1 & -2 & 3 \\ 5 & 4 & 1 \\ -3 & c+2 & 9 \end{vmatrix} & = & -36 + 6 + 15(c+2) + (c+2) + 90 + 36 \\[1em] & = & 16(c+2) + 96 \\[1em] & = & 16c + 128 = 0 \end{eqnarray*}$

よって $c= -8$ である。

$4$ 点が同一平面上にある時, $3$ つのベクトル $\overrightarrow{{\rm AB}}$, $\overrightarrow{{\rm AC}}$, $\overrightarrow{{\rm AD}}$ は線形従属である。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = (-5, b-9, -1)$

$\overrightarrow{{\rm AC}} = (8, 2, 5)$

$\overrightarrow{{\rm AD}} = (-3, -13, 13)$

であるから

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -5 & 8 & -3 \\ b-9 & 2 & -13 \\ -1 & 5 & 13 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

であればよい。

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -5 & 8 & -3 \\ b-9 & 2 & -13 \\ -1 & 5 & 13 \end{vmatrix} & = & -130 + 104 -15(b-9) - 325 - 104(b-9) - 6 \\[1em] & = & -119(b-9) - 357 \\[1em] & = & -119b + 714 = 0 \end{eqnarray*}$

よって $b= 6$ である。

$4$ 点が同一平面上にある時, $3$ つのベクトル $\overrightarrow{{\rm DA}}$, $\overrightarrow{{\rm DB}}$, $\overrightarrow{{\rm DC}}$ は線形従属である。

$\overrightarrow{{\rm DA}} = (-4, a-3, 1)$

$\overrightarrow{{\rm DB}} = (-1, 0, 4)$

$\overrightarrow{{\rm DC}} = (-3, -1, 7)$

であるから

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -4 & -1 & -3 \\ a-3 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 7 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

であればよい。

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -4 & -1 & -3 \\ a-3 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 7 \end{vmatrix} & = & 0 + 1 - 12(a-3)  - 16 + 7(a-3) - 0 \\[1em] & = & -5(a-3) -15 \\[1em] & = & -5a  = 0 \end{eqnarray*}$

よって $a= 0$ である。