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空間内の $4$ 点 ${\rm A}(0,3,10)$, ${\rm B}(b,-1,12)$, ${\rm C}(-2,5,13)$, ${\rm D}(4,1,-9)$ が同一平面上にある時, $b$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$3$
$2$
$1$
$4$
$4$ 点が同一平面上にある時, $3$ つのベクトル $\overrightarrow{{\rm AB}}$, $\overrightarrow{{\rm AC}}$, $\overrightarrow{{\rm AD}}$ は線形従属である。
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (b, -4, 2)$
$\overrightarrow{{\rm AC}} = (-2, 2, 3)$
$\overrightarrow{{\rm AD}} = (4, -2, -19)$
であるから
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} b & -2 & 4 \\ -4 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & -19 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$
であればよい。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} b & -2 & 4 \\ -4 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & -19 \end{vmatrix} & = & -38b + 8 - 48 + 6b + 152 - 16 \\[1em] & = & -32b + 96 = 0 \end{eqnarray*}$
よって $b= 3$ である。