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次の $3$ つの空間ベクトルは線形独立か線形従属か, 正しい方を以下の選択肢から選びなさい。

$\overrightarrow{a} = (3,2,5)$, $\overrightarrow{b} = (4,3,3)$, $\overrightarrow{c} = (1,2,-1)$

線形独立である

線形従属である

$3$ つの空間ベクトル

$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3)$, $\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3)$, $\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$

に対し, 

$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ が線形独立であることと

$|a1b1c1a2b2c2a3b3c3| \not= 0$

であることは同値である。

$|341232541|=9+40+824+815=5648=80$

よって $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形独立である。