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次の $3$ つの空間ベクトルは線形独立か線形従属か, 正しい方を以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{a} = (3,2,5)$, $\overrightarrow{b} = (4,3,3)$, $\overrightarrow{c} = (1,2,-1)$
線形独立である
線形従属である
$3$ つの空間ベクトル
$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3)$, $\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3)$, $\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$
に対し,
$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ が線形独立であることと
$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \not= 0$
であることは同値である。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 5 & 4 & -1 \end{vmatrix} & = & -9 + 40 + 8 - 24 + 8 - 15 \\[1em] & = & 56 - 48\\[1em] & = & 8 \not= 0 \end{eqnarray*}$
よって $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形独立である。