次のベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ と $\overrightarrow{p}$ に対し, $\overrightarrow{p} = a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z}$ と表した時の $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (6,-11,-3)$, $\overrightarrow{y} = (-14,5,4)$, $\overrightarrow{z} = (3,-2,-1)$, $\overrightarrow{p} = (1,7,1)$
$2$
$3$
$-5$
$-4$
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{p}$
とした時, 上の式を行列を用いて表すと
$\begin{pmatrix} 6 & -14 & 3 \\ -11 & 5 & -2 \\ -3 & 4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}$
となる。
$A = \begin{pmatrix} 6 & -14 & 3 \\ -11 & 5 & -2 \\ -3 & 4 & -1 \end{pmatrix}$
とすると
$A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 13 \\ -5 & 3 & -21 \\ -29 & 18 & -124 \end{pmatrix}$
である。$A^{-1}$ を左から掛ければ
$\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 13 \\ -5 & 3 & -21 \\ -29 & 18 & -124 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ -27 \end{pmatrix}$
よって $a = 2$ である。
以下のベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ と $\overrightarrow{p}$ に対し, $\overrightarrow{p} = a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z}$ と表した時の $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (-5,0,1)$, $\overrightarrow{y} = (-4,4,-5)$, $\overrightarrow{z} = (-2,-3,4)$, $\overrightarrow{p} = (2,-2,-5)$
$-10$
$10$
$7$
$-7$
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = (-5a - 4b - 2c , 4b - 3c , a - 5b + 4c )$
より
$\left\{ \begin{aligned} -5a - 4b - 2c &= 2 ~~\cdots({\rm i})\\ 4b - 3c &= -2 ~~\cdots({\rm ii})\\ a - 5b + 4c &= -5 ~~\cdots({\rm iii})\end{aligned} \right.$
$({\rm i}) + ({\rm iii}) $ より
$-5a - 5c = 0$
よって $a = -c$ である、これを $({\rm iii})$ に代入し整理すると
$-5b + 3c = -5~~\cdots ({\rm iv})$
$({\rm ii}) + ({\rm iv})$ より
$-b = -7$
$b=7$ であり, $({\rm iv})$ に代入すると
$3c = 5b-5 = 30$
$c=10$ であり $a=-c = -10$ となる。
以下のベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ と $\overrightarrow{p}$ に対し, $\overrightarrow{p} = a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z}$ と表した時の $b$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (2,-1,-1)$, $\overrightarrow{y} = (-3,-4,0)$, $\overrightarrow{z} = (1,2,-1)$, $\overrightarrow{p} = (-1,1,3)$
$-1$
$1$
$-2$
$2$
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = (2a - 3b + c , -a - 4b + 2c , -a - c )$
より
$\left\{ \begin{aligned} 2a - 3b + c &= -1 ~~\cdots({\rm i})\\ -a - 4b + 2c &= 1 ~~\cdots({\rm ii})\\ -a -c &= 3 ~~\cdots({\rm iii})\end{aligned} \right.$
$({\rm iii}) $ より
$c = -a-3$
$({\rm i})$ と $({\rm ii})$ に代入し整理すると
$\left\{ \begin{aligned} a - 3b & = 2 \\ -3a - 4b &= 7 \end{aligned} \right.$
これを解くと $a = -1$, $b = -1$ であり, $({\rm iii})$ より $c = -2$ である。
以下のベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ と $\overrightarrow{p}$ に対し, $\overrightarrow{p} = a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z}$ と表した時の $b$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (3,3,1)$, $\overrightarrow{y} = (2,-4,-5)$, $\overrightarrow{z} = (-2,2,4)$, $\overrightarrow{p} = (-3,3,2)$
$-3$
$3$
$1$
$-1$
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = (3a + 2b - 2c , 3a - 4b + 2c , a -5b + 4c )$
より
$\left\{ \begin{aligned} 3a + 2b - 2c &= -3 ~~\cdots({\rm i})\\ 3a - 4b + 2c &= 3 ~~\cdots({\rm ii})\\ a -5b + 4c &= 2 ~~\cdots({\rm iii})\end{aligned} \right.$
$({\rm i}) + ({\rm ii}) $ より
$6a-2b=0$
よって $b = 3a$ である。$({\rm i})$ と $({\rm iii})$ に代入し整理すると
$\left\{ \begin{aligned} 9a - 2c & = -3 \\ -7a + 2c &= 1 \end{aligned} \right.$
これを解くと $a = -1$, $c = -3$ であり, $b = 3a = -3$ である。
以下のベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ と $\overrightarrow{p}$ に対し, $\overrightarrow{p} = a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z}$ と表した時の $c$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (-1,-1,-2)$, $\overrightarrow{y} = (3,1,4)$, $\overrightarrow{z} = (0,-4,-3)$, $\overrightarrow{p} = (3,1,2)$
$-2$
$2$
$5$
$-5$
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = (-a + 3b , -a + b - 4c , -2a + 4b - 3c )$
より
$\left\{ \begin{aligned} -a + 3b &= 3 ~~\cdots({\rm i})\\ -a + b -4c &= 1 ~~\cdots({\rm ii})\\ -2a + 4b - 3c &= 2 ~~\cdots({\rm iii})\end{aligned} \right.$
$({\rm i}) $ より
$a = 3b-3$
$({\rm ii})$ と $({\rm iii})$ に代入し整理すると
$\left\{ \begin{aligned} -2b -4c & = -2 \\ - 2b - 3c &= -4 \end{aligned} \right.$
これを解くと $b = 5$, $c = -2$ であり, $a = 3b-3 = 12$ である。
以下のベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ と $\overrightarrow{p}$ に対し, $\overrightarrow{p} = a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z}$ と表した時の $c$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (-2,-2,0)$, $\overrightarrow{y} = (3,-2,1)$, $\overrightarrow{z} = (2,4,-1)$, $\overrightarrow{p} = (-5,-4,1)$
$-2$
$2$
$1$
$-1$
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = (-2a + 3b + 2c , -2a - 2b + 4c , b - c )$
より
$\left\{ \begin{aligned} -2a + 3b + 2c &= -5 ~~\cdots({\rm i})\\ -2a -2b + 4c &= -4 ~~\cdots({\rm ii})\\ b - c &= 1 ~~\cdots({\rm iii})\end{aligned} \right.$
$({\rm iii}) $ より
$c = b-1$
$({\rm i})$ と $({\rm ii})$ に代入し整理すると
$\left\{ \begin{aligned} -2a + 5b & = -3 \\ -2a + 2b &= 0 \end{aligned} \right.$
これを解くと $a = -1$, $b = -1$ であり, $c = b-1 = -2$ である。