$4$ 点が同一平面上にある時, $3$ つのベクトル $\overrightarrow{{\rm AB}}$, $\overrightarrow{{\rm AC}}$, $\overrightarrow{{\rm AD}}$ は線形従属である。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = (1, 3, 1)$

$\overrightarrow{{\rm AC}} = (2, c+4, 3)$

$\overrightarrow{{\rm AD}} = (-1, 7, -3)$

であるから

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & c+4 & 7 \\ 1 & 3 & -3 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$$ $

であればよい。

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & c+4 & 7 \\ 1 & 3 & -3 \end{vmatrix} & = & -3(c+4) + 14 - 9 - 21 + 18 + (c+4) \\[1em] & = & -2(c+4) +  2\\[1em] & = & -2c -6 = 0 \end{eqnarray*}$$ $

よって $c= -3$ である。