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空間内の $4$ 点 ${\rm A}(4,-4,3)$, ${\rm B}(5,-1,4)$, ${\rm C}(6,c,6)$, ${\rm D}(3,3,0)$ が同一平面上にある時, $c$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$-3$
$-2$
$-4$
$-1$
$4$ 点が同一平面上にある時, $3$ つのベクトル $\overrightarrow{{\rm AB}}$, $\overrightarrow{{\rm AC}}$, $\overrightarrow{{\rm AD}}$ は線形従属である。
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (1, 3, 1)$
$\overrightarrow{{\rm AC}} = (2, c+4, 3)$
$\overrightarrow{{\rm AD}} = (-1, 7, -3)$
であるから
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & c+4 & 7 \\ 1 & 3 & -3 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$
であればよい。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & c+4 & 7 \\ 1 & 3 & -3 \end{vmatrix} & = & -3(c+4) + 14 - 9 - 21 + 18 + (c+4) \\[1em] & = & -2(c+4) + 2\\[1em] & = & -2c -6 = 0 \end{eqnarray*}$
よって $c= -3$ である。