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空間内の $4$ 点 ${\rm A}(1,-2,4)$, ${\rm B}(3,0,1)$, ${\rm C}(5,1,-1)$, ${\rm D}(d,2,1)$ が同一平面上にある時, $d$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$-1$
$1$
$2$
$-2$
$4$ 点が同一平面上にある時, $3$ つのベクトル $\overrightarrow{{\rm AB}}$, $\overrightarrow{{\rm AC}}$, $\overrightarrow{{\rm AD}}$ は線形従属である。
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (2, 2, -3)$
$\overrightarrow{{\rm AC}} = (4, 3, -5)$
$\overrightarrow{{\rm AD}} = (d-1, 4, -3)$
であるから
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 4 & d-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ -3 & -5 & -3 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$
であればよい。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 4 & d-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ -3 & -5 & -3 \end{vmatrix} & = & -18 - 48 - 10(d-1) + 40 + 24 +9(d-1) \\[1em] & = & -(d-1) - 2 \\[1em] & = & -d -1 = 0 \end{eqnarray*}$
よって $d= -1$ である。