6
空間内の $4$ 点 ${\rm A}(4,-1,-2)$, ${\rm B}(3,4,-5)$, ${\rm C}(2,3,c)$, ${\rm D}(7,0,7)$ が同一平面上にある時, $c$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$-8$
$-4$
$-6$
$-10$
$4$ 点が同一平面上にある時, $3$ つのベクトル $\overrightarrow{{\rm AB}}$, $\overrightarrow{{\rm AC}}$, $\overrightarrow{{\rm AD}}$ は線形従属である。
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (-1, 5, -3)$
$\overrightarrow{{\rm AC}} = (-2, 4, c+ 2)$
$\overrightarrow{{\rm AD}} = (3, 1, 9)$
であるから
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -1 & -2 & 3 \\ 5 & 4 & 1 \\ -3 & c+2 & 9 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$
であればよい。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -1 & -2 & 3 \\ 5 & 4 & 1 \\ -3 & c+2 & 9 \end{vmatrix} & = & -36 + 6 + 15(c+2) + (c+2) + 90 + 36 \\[1em] & = & 16(c+2) + 96 \\[1em] & = & 16c + 128 = 0 \end{eqnarray*}$
よって $c= -8$ である。