$3$ つの空間ベクトル

$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3)$, $\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3)$, $\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$

に対し, 

$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ が線形独立であることと

$ $$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$$ \not= 0$

であることは同値である。

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 4 & 3 \\ -4 & 0 & 5 \end{vmatrix}  & = & 20 + 0 + 0 - 0 - 0 + 16 \\[1em] & = & 36 \not= 0 \end{eqnarray*}$$ $

よって $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形独立である。