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空間内の $4$ 点 ${\rm A}(4,5,1)$, ${\rm B}(2,-1,5)$, ${\rm C}(-4,3,2)$, ${\rm D}(9,-2,d)$ が同一平面上にある時, $d$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$6$
$5$
$4$
$7$
$4$ 点が同一平面上にある時, $3$ つのベクトル $\overrightarrow{{\rm AB}}$, $\overrightarrow{{\rm AC}}$, $\overrightarrow{{\rm AD}}$ は線形従属である。
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (-2, -6, 4)$
$\overrightarrow{{\rm AC}} = (-8, -2, 1)$
$\overrightarrow{{\rm AD}} = (5, -7, d-1)$
であるから
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -2 & -8 & 5 \\ -6 & -2 & -7 \\ 4 & 1 & d-1 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$
であればよい。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -2 & -8 & 5 \\ -6 & -2 & -7 \\ 4 & 1 & d-1 \end{vmatrix} & = & 4(d-1) + 224 - 30 - 14 - 48(d-1) + 40 \\[1em] & = & -44(d-1) + 220\\[1em] & = & -44d + 264 = 0 \end{eqnarray*}$
よって $d= 6$ である。