次の $3$ つの空間ベクトルは線形独立か線形従属か, 正しい方を以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{a} = (-6,2,0)$, $\overrightarrow{b} = (2,1,-5)$, $\overrightarrow{c} = (8,-1,-5)$
線形従属である
線形独立である
$3$ つの空間ベクトル
$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3)$, $\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3)$, $\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$
に対し,
$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ が線形独立であることと
$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \not= 0$
であることは同値である。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -6 & 2 & 8 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & -5 & -5 \end{vmatrix} & = & 30 + 0 - 80 + 30+ 20 + 0\\[1em] & = & 80-80 =0 \end{eqnarray*}$
よって $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形従属である。
次の $3$ つの空間ベクトルは線形独立か線形従属か, 正しい方を以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{a} = (-1,1,3)$, $\overrightarrow{b} = (7,-1,3)$, $\overrightarrow{c} = (2,0,2)$
線形従属である
線形独立である
$3$ つの空間ベクトル
$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3)$, $\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3)$, $\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$
に対し,
$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ が線形独立であることと
$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \not= 0$
であることは同値である。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -1 & 7 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix} & = & 2 + 0 + 6 - 0 - 14 + 6 \\[1em] & = & 14 - 14 =0 \end{eqnarray*}$
よって $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形従属である。
次の $3$ つの空間ベクトルは線形独立か線形従属か, 正しい方を以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{a} = (1,-1,-4)$, $\overrightarrow{b} = (0,4,0)$, $\overrightarrow{c} = (1,3,5)$
線形独立である
線形従属である
$3$ つの空間ベクトル
$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3)$, $\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3)$, $\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$
に対し,
$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ が線形独立であることと
$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \not= 0$
であることは同値である。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 4 & 3 \\ -4 & 0 & 5 \end{vmatrix} & = & 20 + 0 + 0 - 0 - 0 + 16 \\[1em] & = & 36 \not= 0 \end{eqnarray*}$
よって $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形独立である。
次の $3$ つの空間ベクトルは線形独立か線形従属か, 正しい方を以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{a} = (3,2,5)$, $\overrightarrow{b} = (4,3,3)$, $\overrightarrow{c} = (1,2,-1)$
線形独立である
線形従属である
$3$ つの空間ベクトル
$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3)$, $\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3)$, $\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$
に対し,
$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ が線形独立であることと
$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \not= 0$
であることは同値である。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 5 & 4 & -1 \end{vmatrix} & = & -9 + 40 + 8 - 24 + 8 - 15 \\[1em] & = & 56 - 48\\[1em] & = & 8 \not= 0 \end{eqnarray*}$
よって $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形独立である。
次の $3$ つの空間ベクトルは線形独立か線形従属か, 正しい方を以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{a} = (3,1,-4)$, $\overrightarrow{b} = (-4,-4,0)$, $\overrightarrow{c} = (-2,0,4)$
線形従属である
線形独立である
$3$ つの空間ベクトル
$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3)$, $\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3)$, $\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$
に対し,
$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ が線形独立であることと
$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \not= 0$
であることは同値である。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3 & -4 & -2 \\ 1 & -4 & 0 \\ -4 & 0 & 4 \end{vmatrix} & = & -48 + 0 + 0 - 0 + 16 + 32\\[1em] & = & 48-48 =0 \end{eqnarray*}$
よって $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形従属である。