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空間内の $4$ 点 ${\rm A}(a,7,6)$, ${\rm B}(8,-4,3)$, ${\rm C}(5,-6,2)$, ${\rm D}(5,3,5)$ が同一平面上にある時, $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$2$
$8$
$4$
$6$
$4$ 点が同一平面上にある時, $3$ つのベクトル $\overrightarrow{{\rm DA}}$, $\overrightarrow{{\rm DB}}$, $\overrightarrow{{\rm DC}}$ は線形従属である。
$\overrightarrow{{\rm DA}} = (a-5, 4, 1)$
$\overrightarrow{{\rm DB}} = (3, -7, -2)$
$\overrightarrow{{\rm DC}} = (0, -9, -3)$
であるから
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a-5 & 3 & 0 \\ 4 & -7 & -9 \\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$
であればよい。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a-5 & 3 & 0 \\ 4 & -7 & -9 \\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix} & = & 21(a-5) - 27 + 0 - 18(a-5) + 36 - 0\\[1em] & = & 3(a-5) + 9\\[1em] & = & 3a - 6 = 0 \end{eqnarray*}$
よって $a= 2$ である。