$4$ 点が同一平面上にある時, $3$ つのベクトル $\overrightarrow{{\rm DA}}$, $\overrightarrow{{\rm DB}}$, $\overrightarrow{{\rm DC}}$ は線形従属である。

$\overrightarrow{{\rm DA}} = (a-5, 4, 1)$

$\overrightarrow{{\rm DB}} = (3, -7, -2)$

$\overrightarrow{{\rm DC}} = (0, -9, -3)$

であるから

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a-5 & 3 & 0 \\ 4 & -7 & -9 \\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$$ $

であればよい。

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a-5 & 3 & 0 \\ 4 & -7 & -9 \\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix} & = & 21(a-5) - 27 + 0 - 18(a-5) + 36 - 0\\[1em] & = & 3(a-5) + 9\\[1em] & = & 3a - 6 = 0 \end{eqnarray*}$$ $

よって $a= 2$ である。