行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ -2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ の $3$ つの固有値を $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\lambda_3$ ($\lambda_1 \lt \lambda_2 \lt \lambda_3$) とした時, $\lambda_1$ に対応する固有ベクトルとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$c\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$|A - \lambda E| = 0$ とすると
$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} 2 - \lambda & -2 & 0 \\ -2 & -1 - \lambda & 2 \\ 1 & 2 & 1 - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & (2 - \lambda)(-1 - \lambda)(1 - \lambda) -4+ 0 - 4(2 - \lambda) - 4(1 - \lambda) - 0\\[1em] & = & -\lambda^3 + 2\lambda^2 + 9\lambda - 18 \\[1em] & = & -(\lambda - 2)(\lambda^2 - 9) \\[1em]& = & - (\lambda-2)(\lambda+3)(\lambda - 3)=0\end{eqnarray*}$
$\lambda_1 \lt \lambda_2 \lt \lambda_3$ より
$\lambda_1 = -3$, $\lambda_2 = 2$, $\lambda_3 = 3$
である。
$\lambda = -3$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ とし
$\left( A + 3E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{eqnarray*} \left( A + 3E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} 5 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 5x - 2y \\ -2x + 2y + 2z \\ x + 2y + 4z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$x$ 成分から,
$y = \dfrac{5}{2}x$
$y$ 成分に代入すると
$z = -\dfrac{3}{2}x$
よって
$\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ \dfrac{5}{2}x \\ -\dfrac{3}{2}x \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} x\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}$
よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}~(c\not=0)$ である。
行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ の $3$ つの固有値を $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\lambda_3$ ($\lambda_1 \lt \lambda_2 \lt \lambda_3$) とした時, $\lambda_1$ に対応する固有ベクトルとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$c\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$|A - \lambda E| = 0$ とすると
$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 & -1 \\ 2 & 2 - \lambda & 2 \\ -2 & 0 & - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & -\lambda(1 - \lambda)(2 - \lambda) - 8 + 0 - 0 + 4\lambda - 2(2 - \lambda) \\[1em] & = & -\lambda^3 + 3\lambda^2 + 4\lambda - 12 \\[1em] & = & -(\lambda - 3)(\lambda^2 - 4) \\[1em]& = & - (\lambda-3)(\lambda+2)(\lambda - 2)=0\end{eqnarray*}$
$\lambda_1 \lt \lambda_2 \lt \lambda_3$ より
$\lambda_1 = -2$, $\lambda_2 = 2$, $\lambda_3 = 3$
である。
$\lambda = -2$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ とし
$\left( A + 2E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{eqnarray*} \left( A + 2E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 2 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3x + 2y - z \\ 2x + 4y + 2z \\ -2x + 2z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$z$ 成分から,
$z = x$
$x$ 成分に代入すると
$y = - x$
よって
$\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ - x \\ x \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$
よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$ である。
行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ の $3$ つの固有値を $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\lambda_3$ ($\lambda_1 \lt \lambda_2 \lt \lambda_3$) とした時, $\lambda_1$ に対応する固有ベクトルとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$c\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$|A - \lambda E| = 0$ とすると
$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} - \lambda & -2 & -1 \\ -1 & 1 - \lambda & 0 \\ 0 & 0 & -2 - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & -\lambda(1 - \lambda)(-2 - \lambda) + 0 + 0 - 0 -2(-2 - \lambda) - 0 \\[1em] & = & -\lambda^3 - \lambda^2 + 4\lambda + 4 \\[1em] & = & -(\lambda + 1)(\lambda^2 - 4) \\[1em]& = & - (\lambda+1)(\lambda+2)(\lambda - 2)=0\end{eqnarray*}$
$\lambda_1 \lt \lambda_2 \lt \lambda_3$ より
$\lambda_1 = -2$, $\lambda_2 = -1$, $\lambda_3 = 2$
である。
$\lambda = -2$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ とし
$\left( A + 2E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{eqnarray*} \left( A + 2E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2x - 2y - z \\ -x + 3y \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$y$ 成分から,
$x = 3y$
$x$ 成分に代入すると
$z = 4y$
よって
$\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 3y \\ y \\ 4y \end{pmatrix} = y\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$
よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}~(c\not=0)$ である。
行列 $A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ の $3$ つの固有値を $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\lambda_3$ ($\lambda_1 \lt \lambda_2 \lt \lambda_3$) とした時, $\lambda_1$ に対応する固有ベクトルとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$c\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$|A - \lambda E| = 0$ とすると
$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} -1 - \lambda & -2 & -2 \\ 0 & 1 - \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 2 - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-1 - \lambda)(1 - \lambda)(2 - \lambda) + 0 + 0 - 0 - 0 \\[1em] & = & - (\lambda+1)(\lambda-1)(\lambda - 2)=0\end{eqnarray*}$
$\lambda_1 \lt \lambda_2 \lt \lambda_3$ より
$\lambda_1 = -1$, $\lambda_2 = 1$, $\lambda_3 = 2$
である。
$\lambda = -1$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ とし
$\left( A + E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{eqnarray*} \left( A + E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} 0 & -2 & -2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -2y - 2z \\ 2y \\ 3z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$y$ 成分と $z$ 成分から,
$y = z = 0$
よって
$\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}~(c\not=0)$ である。