行列 $A = \begin{pmatrix} -12 & 10 \\ -11 & 15 \end{pmatrix}$ の $2$ つの固有値を $\lambda_1$, $\lambda_2$ ($\lambda_1 \lt \lambda_2$) とした時, $\lambda_1$ に対応する固有ベクトルとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$c\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} -5 \\ 11 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$|A - \lambda E| = 0$ とすると
$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} -12 - \lambda & 10 \\ -11 & 15 - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-12 - \lambda)(15 - \lambda) + 110\\[1em] & = & \lambda^2 - 3\lambda - 70\\[1em] & = & (\lambda+7)(\lambda-10)=0\end{eqnarray*}$
$\lambda_1 \lt \lambda_2$ より
$\lambda_1 = -7$, $\lambda_2 = 10$
である。
$\lambda = -7$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とし
$\left( A + 7E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{eqnarray*} \left( A + 7E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} -5 & 10 \\ -11 & 22 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix}- 5x + 10y \\ -11x + 22y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ここから $x = 2y$ となる。代入すると
$\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 2y \\ y \end{pmatrix} = y\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$ である。