$|A - \lambda E| = 0$ とすると

$ $$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} -12 - \lambda & 10 \\ -11 & 15 - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-12 - \lambda)(15 - \lambda) + 110\\[1em] & = & \lambda^2 - 3\lambda - 70\\[1em] & = & (\lambda+7)(\lambda-10)=0\end{eqnarray*}$$ $

$\lambda_1 \lt \lambda_2$ より

$\lambda_1 = -7$, $\lambda_2 = 10$

である。

$\lambda = -7$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ $ とし

$\left( A + 7E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$

とすると

$ $$\begin{eqnarray*} \left( A + 7E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} -5 & 10 \\ -11 & 22 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix}- 5x + 10y \\ -11x + 22y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

ここから $x = 2y$ となる。代入すると

$\overrightarrow{v} = $$\begin{pmatrix} 2y \\ y \end{pmatrix}$$ = y $$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $

よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c $$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$ ~(c\not=0)$ である。