行列 $A = \begin{pmatrix} -13 & -1 \\ -5 & -9 \end{pmatrix}$ の $2$ つの固有値を $\lambda_1$, $\lambda_2$ ($\lambda_1 \lt \lambda_2$) とした時, $\lambda_1$ に対応する固有ベクトルとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$c\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$|A - \lambda E| = 0$ とすると
$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} -13 - \lambda & -1 \\ -5 & -9 - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-13 - \lambda)(-9 - \lambda) - 5\\[1em] & = & \lambda^2 + 22\lambda + 112\\[1em] & = & (\lambda+14)(\lambda+8)=0\end{eqnarray*}$
$\lambda_1 \lt \lambda_2$ より
$\lambda_1 = -14$, $\lambda_2 = -8$
である。
$\lambda = -14$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とし
$\left( A + 14E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{eqnarray*} \left( A + 14E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -5 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} x - y \\ -5x + 5y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ここから $y = x$ となる。代入すると
$\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$ である。