$|A - \lambda E| = 0$ とすると

$ $$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} -13 - \lambda & -1 \\ -5 & -9 - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-13 - \lambda)(-9 - \lambda) - 5\\[1em] & = & \lambda^2 + 22\lambda + 112\\[1em] & = & (\lambda+14)(\lambda+8)=0\end{eqnarray*}$$ $

$\lambda_1 \lt \lambda_2$ より

$\lambda_1 = -14$, $\lambda_2 = -8$

である。

$\lambda = -14$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ $ とし

$\left( A + 14E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$

とすると

$ $$\begin{eqnarray*} \left( A + 14E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -5 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} x - y \\ -5x + 5y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

ここから $y = x$ となる。代入すると

$\overrightarrow{v} = $$\begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix}$$ = x $$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $

よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c $$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ ~(c\not=0)$ である。