平面における回転行列
平面上の点を原点のまわりに $\dfrac{3}{2}\pi$ だけ回転させる線形変換を表す行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
原点のまわりに $\theta$ だけ回転させる線形変換を表す行列は
$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$
と表せる。よって求める行列は
$\begin{pmatrix} \cos \dfrac{3}{2}\pi & -\sin \dfrac{3}{2}\pi \\ \sin \dfrac{3}{2}\pi & \cos \dfrac{3}{2}\pi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
である。
1
平面上の点を原点のまわりに $\dfrac{\pi}{2}$ だけ回転させる線形変換を表す行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
原点のまわりに $\theta$ だけ回転させる線形変換を表す行列は
$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$
と表せる。よって求める行列は
$\begin{pmatrix} \cos \dfrac{\pi}{2} & -\sin \dfrac{\pi}{2} \\ \sin \dfrac{\pi}{2} & \cos \dfrac{\pi}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
である。
3
平面上の点を原点のまわりに $\pi$ だけ回転させる線形変換を表す行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
原点のまわりに $\theta$ だけ回転させる線形変換を表す行列は
$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$
と表せる。よって求める行列は
$\begin{pmatrix} \cos\pi & -\sin \pi \\ \sin \pi & \cos \pi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
である。
4
平面上の点を原点のまわりに $\dfrac{\pi}{3}$ だけ回転させる線形変換を表す行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2}\\ - \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$
原点のまわりに $\theta$ だけ回転させる線形変換を表す行列は
$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$
と表せる。よって求める行列は
$\begin{pmatrix} \cos \dfrac{\pi}{3} & -\sin \dfrac{\pi}{3} \\ \sin \dfrac{\pi}{3} & \cos \dfrac{\pi}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$
である。
5
平面上の点を原点のまわりに $-\dfrac{\pi}{3}$ だけ回転させる線形変換を表す行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2}\\ - \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$
原点のまわりに $\theta$ だけ回転させる線形変換を表す行列は
$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$
と表せる。よって求める行列は
$\begin{pmatrix} \cos \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) & -\sin \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) \\ \sin \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) & \cos \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$
である。
6
平面上の点を原点のまわりに $\dfrac{\pi}{4}$ だけ回転させる線形変換を表す行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}- \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
原点のまわりに $\theta$ だけ回転させる線形変換を表す行列は
$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$
と表せる。よって求める行列は
$\begin{pmatrix} \cos \dfrac{\pi}{4} & -\sin \dfrac{\pi}{4} \\ \sin \dfrac{\pi}{4} & \cos \dfrac{\pi}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
である。
7
平面上の点を原点のまわりに $\dfrac{3}{4}\pi$ だけ回転させる線形変換を表す行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
原点のまわりに $\theta$ だけ回転させる線形変換を表す行列は
$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$
と表せる。よって求める行列は
$\begin{pmatrix} \cos \dfrac{3}{4}\pi & -\sin \dfrac{3}{4}\pi \\ \sin \dfrac{3}{4}\pi & \cos \dfrac{3}{4}\pi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
である。
8
平面上の点を原点のまわりに $\dfrac{5}{4}\pi$ だけ回転させる線形変換を表す行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
原点のまわりに $\theta$ だけ回転させる線形変換を表す行列は
$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$
と表せる。よって求める行列は
$\begin{pmatrix} \cos \dfrac{5}{4}\pi & -\sin \dfrac{5}{4}\pi \\ \sin \dfrac{5}{4}\pi & \cos \dfrac{5}{4}\pi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
である。
9
平面上の点を原点のまわりに $\dfrac{7}{4}\pi$ だけ回転させる線形変換を表す行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
原点のまわりに $\theta$ だけ回転させる線形変換を表す行列は
$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$
と表せる。よって求める行列は
$\begin{pmatrix} \cos \dfrac{7}{4}\pi & -\sin \dfrac{7}{4}\pi \\ \sin \dfrac{7}{4}\pi & \cos \dfrac{7}{4}\pi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
である。
合成変換の計算
1
次の $2$ つの線形変換 $f$, $g$ に対し, それらの合成変換 $g \circ f$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$f: (x,y) \mapsto (x - 3y, -x + 4y)$
$g: (x,y) \mapsto (3x + 7y, 4x + 9y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-4x + 19y , -5x + 24y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-9x - 20y , 13x + 29y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (3x - 21y , -4x + 36y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-3x + 28y , 4x - 27y)$
$f$ の表現行列を $A$ とすると
$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$
であり, また $g$ の表現行列を $B$ とすると
$B = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}$
である。$g \circ f$ の表現行列は $BA$ であるから
$\begin{eqnarray*} BA & = & \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 4 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -4 & 19 \\ -5 & 24 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-4x + 19y , -5x + 24y)$
である。
2
次の $2$ つの線形変換 $f$, $g$ に対し, それらの合成変換 $g \circ f$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$f: (x,y) \mapsto (x + 10y, x + 9y)$
$g: (x,y) \mapsto (2x + y, -x )$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (3x + 29y , -x - 10y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (2x + 10y , -x + 9y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-8x + y , -7x + y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-8x + 18y , x + 18y)$
$f$ の表現行列を $A$ とすると
$A = \begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 1 & 9 \end{pmatrix}$
であり, また $g$ の表現行列を $B$ とすると
$B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
である。$g \circ f$ の表現行列は $BA$ であるから
$\begin{eqnarray*} BA & = & \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 1 & 9 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3 & 29 \\ -1 & -10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって
$g \circ f: (x,y) \mapsto (3x + 29y , -x - 10y)$
である。
3
次の $2$ つの線形変換 $f$, $g$ に対し, それらの合成変換 $g \circ f$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$f: (x,y) \mapsto (-4x + y, 7x - 2y)$
$g: (x,y) \mapsto (-3x - y, -2x - y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (5x - y , x )$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (10x + 3y , -17x - 5y )$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-30x + 7y , -19x + 7y )$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-22x + 9y , 11x - y )$
$f$ の表現行列を $A$ とすると
$A = \begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 7 & -2 \end{pmatrix}$
であり, また $g$ の表現行列を $B$ とすると
$B = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$
である。$g \circ f$ の表現行列は $BA$ であるから
$\begin{eqnarray*} BA & = & \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 7 & -2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって
$g \circ f: (x,y) \mapsto (5x - y , x )$
である。
4
次の $2$ つの線形変換 $f$, $g$ に対し, それらの合成変換 $g \circ f$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$f: (x,y) \mapsto (-3x + 2y, 2x - y)$
$g: (x,y) \mapsto (-4x + 3y, -3x + 2y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (18x - 11y , 13x - 8y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (6x - 5y , -5x + 4y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-12x + 7y , -17x + 10y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-2x + y , x)$
$f$ の表現行列を $A$ とすると
$A = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$
であり, また $g$ の表現行列を $B$ とすると
$B = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$
である。$g \circ f$ の表現行列は $BA$ であるから
$\begin{eqnarray*} BA & = & \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 18 & -11 \\ 13 & -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって
$g \circ f: (x,y) \mapsto (18x - 11y , 13x - 8y)$
である。
5
次の $2$ つの線形変換 $f$, $g$ に対し, それらの合成変換 $g \circ f$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$f: (x,y) \mapsto (-9x - 8y, x + y)$
$g: (x,y) \mapsto (x - 2y, -x + 3y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-11x - 10y , 12x + 11y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-x - 6y , y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-x - 33y , 3x -5y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-8x - 10y , 12x + 2y)$
$f$ の表現行列を $A$ とすると
$A = \begin{pmatrix} -9 & -8 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
であり, また $g$ の表現行列を $B$ とすると
$B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$
である。$g \circ f$ の表現行列は $BA$ であるから
$\begin{eqnarray*} BA & = & \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -9 & -8 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -11 & -10 \\ 12 & 11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-11x - 10y , 12x + 11y)$
である。