行列 $A = \begin{pmatrix} 7 & -1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$ の $2$ つの固有値を $\lambda_1$, $\lambda_2$ ($\lambda_1 \lt \lambda_2$) とした時, $\lambda_1$ に対応する固有ベクトルとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$c\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$|A - \lambda E| = 0$ とすると
$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} 7 - \lambda & -1 \\ 3 & 3 - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & (7 - \lambda)(3 - \lambda) + 3\\[1em] & = & \lambda^2 - 10\lambda + 24\\[1em] & = & (\lambda-4)(\lambda-6)=0\end{eqnarray*}$
$\lambda_1 \lt \lambda_2$ より
$\lambda_1 = 4$, $\lambda_2 = 6$
である。
$\lambda = 4$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とし
$\left( A - 4E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{eqnarray*} \left( A - 4E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3x - y \\ 3x - y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ここから $y = 3x$ となる。代入すると
$\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ 3x \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$
よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}~(c\not=0)$ である。