2次形式の標準形
1
$2$ 次形式 $4x^2 + 6xy - 4y^2$ を直交行列 $T$ を用いて標準形に直すと $5x'^2 -5y'^2$ となった。
この時 $T$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix} 1 & 3\\ -3 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ - 3 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$
$4x^2 + 6xy - 4y^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
であるから $A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$ とすると,
標準形が $5x'^2 - 5y'^2$ であることから $A$ の固有値は $\lambda = 5,~-5$ である。
$\lambda = 5$ に対応する固有ベクトルを求めると
$\overrightarrow{v_1} = c_1\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$
同様に $\lambda = -5$ に対応する固有ベクトルを求めると
$\overrightarrow{v_2} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$
となる。
$| \overrightarrow{v_1}| = | \overrightarrow{v_2}| = 1$ とすると
$c_1 = c_2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{10}}$
となるので
$T = \dfrac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$
とすれば $T$ は求める直交行列となる。
※注意
$T' = \dfrac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$
も対角化する直交行列であるが, $T'$ で標準形に直すと
$-5x'^2 + 5y'^2$
となり仮定に反するので, この場合は不適切である。
2
$2$ 次形式 $-2x^2 - 6xy + 6y^2$ を直交行列 $T$ を用いて標準形に直すと $7x'^2 - 3y'^2$ となった。
この時 $T$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$
$-2x^2 - 6xy + 6y^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
であるから $A = \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}$ とすると,
標準形が $7x'^2 - 3y'^2$ であることから $A$ の固有値は $\lambda = 7,~-3$ である。
$\lambda = 7$ に対応する固有ベクトルを求めると
$\overrightarrow{v_1} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$
同様に $\lambda = -3$ に対応する固有ベクトルを求めると
$\overrightarrow{v_2} = c_1\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$
となる。
$| \overrightarrow{v_1}| = | \overrightarrow{v_2}| = 1$ とすると
$c_1 = c_2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{10}}$
となるので
$T = \dfrac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$
とすれば $T$ は求める直交行列となる。
※注意
$T' = \dfrac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$
も対角化する直交行列であるが, $T'$ で標準形に直すと
$-3x'^2 + 7y'^2$
となり仮定に反するので, この場合は不適切である。
3
$2$ 次形式 $3x^2 - 2xy + 3y^2$ を直交行列 $T$ を用いて標準形に直すと $4x'^2 + 2y'^2$ となった。
この時 $T$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
$3x^2 - 2xy + 3y^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
であるから $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ とすると,
標準形が $4x'^2 + 2y'^2$ であることから $A$ の固有値は $\lambda = 4,~2$ である。
$\lambda = 4$ に対応する固有ベクトルを求めると
$\overrightarrow{v_1} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
同様に $\lambda = -5$ に対応する固有ベクトルを求めると
$\overrightarrow{v_2} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
となる。
$| \overrightarrow{v_1}| = | \overrightarrow{v_2}| = 1$ とすると
$c_1 = c_2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
となるので
$T = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
とすれば $T$ は求める直交行列となる。
※注意
$T' = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
も対角化する直交行列であるが, $T'$ で標準形に直すと
$2x'^2 + 4y'^2$
となり仮定に反するので, この場合は不適切である。
4
$2$ 次形式 $5x^2 + 2xy + 5y^2$ を直交行列 $T$ を用いて標準形に直すと $6x'^2 + 4y'^2$ となった。
この時 $T$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
$ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
$ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
$ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
$5x^2 + 2xy + 5y^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
であるから $A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$ とすると,
標準形が $6x'^2 + 4y'^2$ であることから $A$ の固有値は $\lambda = 6,~4$ である。
$\lambda = 6$ に対応する固有ベクトルを求めると
$\overrightarrow{v_1} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
同様に $\lambda = 4$ に対応する固有ベクトルを求めると
$\overrightarrow{v_2} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
となる。
$| \overrightarrow{v_1}| = | \overrightarrow{v_2}| = 1$ とすると
$c_1 = c_2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
となるので
$T = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
とすれば $T$ は求める直交行列となる。
※注意
$T' = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
も対角化する直交行列であるが, $T'$ で標準形に直すと
$4x'^2 + 6y'^2$
となり仮定に反するので, この場合は不適切である。
2次形式の表現1
1
$2$ 次形式 $10x^2 - 10xy + 10y^2$ を対称行列 $A$ を用いて
$\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
と表した時, $A$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 10 & -5 \\ -5 & 10 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 10 & -10 \\ -10 & 10 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 10 & 5 \\ 5 & 10 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 10 & 10 \\ 10 & 10 \end{pmatrix}$
$2$ 次形式 $ax^2 + bxy + cy^2$ は対称行列を用いて
$ax^2 + bxy + cy^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \dfrac{b}{2} \\ \dfrac{b}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
と表せる。よって
$10x^2 - 10xy + 10y^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10 & -5 \\ -5 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
が成り立つ。
2
$2$ 次形式 $5x^2 - 2xy + 5y^2$ を対称行列 $A$ を用いて
$\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
と表した時, $A$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$
$2$ 次形式 $ax^2 + bxy + cy^2$ は対称行列を用いて
$ax^2 + bxy + cy^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \dfrac{b}{2} \\ \dfrac{b}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
と表せる。よって
$5x^2 - 2xy + 5y^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
が成り立つ。
3
$2$ 次形式 $7x^2 - 4xy + 4y^2$ を対称行列 $A$ を用いて
$\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
と表した時, $A$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 7 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -4 & 4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 4 & -4 \\ -4 & 7 \end{pmatrix}$
$2$ 次形式 $ax^2 + bxy + cy^2$ は対称行列を用いて
$ax^2 + bxy + cy^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \dfrac{b}{2} \\ \dfrac{b}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
と表せる。よって
$7x^2 - 4xy + 4y^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
が成り立つ。
4
$2$ 次形式 $-6x^2 - 6xy + 2y^2$ を対称行列 $A$ を用いて
$\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
と表した時, $A$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} -6 & -3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -3 & -3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -6 & -6 \\ -6 & 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -3 & -6 \\ -6 & 1 \end{pmatrix}$
$2$ 次形式 $ax^2 + bxy + cy^2$ は対称行列を用いて
$ax^2 + bxy + cy^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \dfrac{b}{2} \\ \dfrac{b}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
と表せる。よって
$-6x^2 - 6xy + 2y^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -6 & -3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
が成り立つ。
5
$2$ 次形式 $x^2 + 2xy - y^2$ を対称行列 $A$ を用いて
$\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
と表した時, $A$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$
$2$ 次形式 $ax^2 + bxy + cy^2$ は対称行列を用いて
$ax^2 + bxy + cy^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \dfrac{b}{2} \\ \dfrac{b}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
と表せる。よって
$x^2 + 2xy - y^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
が成り立つ。