空間における回転移動
1
空間内の点を $x$ 軸のまわりに $\dfrac{\pi}{6}$ だけ回転させる線形変換を表す行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ 0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \\ 0 & -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$
空間内の点を $x$ 軸のまわりに $\theta$ だけ回転させる線形変換の表現行列は
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$
と表せる。よって求める表現行列は
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \dfrac{\pi}{6} & -\sin \dfrac{\pi}{6} \\ 0 & \sin \dfrac{\pi}{6} & \cos \dfrac{\pi}{6} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ 0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$
である。
2
空間内の点を $x$ 軸のまわりに $\dfrac{3}{4}\pi$ だけ回転させる線形変換を表す行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & 1 & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
空間内の点を $x$ 軸のまわりに $\theta$ だけ回転させる線形変換の表現行列は
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$
と表せる。よって求める表現行列は
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \dfrac{3}{4}\pi & -\sin \dfrac{3}{4}\pi \\ 0 & \sin \dfrac{3}{4}\pi & \cos \dfrac{3}{4}\pi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
である。
3
空間内の点を $x$ 軸のまわりに $\dfrac{4}{3}\pi$ だけ回転させる線形変換を表す行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$
空間内の点を $x$ 軸のまわりに $\theta$ だけ回転させる線形変換の表現行列は
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$
と表せる。よって求める表現行列は
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \dfrac{4}{3}\pi & -\sin \dfrac{4}{3}\pi \\ 0 & \sin \dfrac{4}{3}\pi & \cos \dfrac{4}{3}\pi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$
である。
4
空間内の点を $y$ 軸のまわりに $\dfrac{\pi}{3}$ だけ回転させる線形変換を表す行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & 0 & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & 0 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \dfrac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \dfrac{1}{2} & 0 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \dfrac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \dfrac{1}{2} & 0 & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$
空間内の点を $y$ 軸のまわりに $\theta$ だけ回転させる線形変換の表現行列は
$\begin{pmatrix} \cos \theta & 0 & -\sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{pmatrix}$
と表せる。よって求める表現行列は
$\begin{pmatrix} \cos \dfrac{\pi}{3} & 0 & -\sin \dfrac{\pi}{3} \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \dfrac{\pi}{3} & 0 & \cos \dfrac{\pi}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & 0 & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$
である。
5
空間内の点を $y$ 軸のまわりに $\dfrac{3}{2}\pi$ だけ回転させる線形変換を表す行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
空間内の点を $y$ 軸のまわりに $\theta$ だけ回転させる線形変換の表現行列は
$\begin{pmatrix} \cos \theta & 0 & -\sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{pmatrix}$
と表せる。よって求める表現行列は
$\begin{pmatrix} \cos \dfrac{3}{2}\pi & 0 & -\sin \dfrac{3}{2}\pi \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \dfrac{3}{2}\pi & 0 & \cos \dfrac{3}{2}\pi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
である。
6
空間内の点を $y$ 軸のまわりに $-\dfrac{\pi}{4}$ だけ回転させる線形変換を表す行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
空間内の点を $y$ 軸のまわりに $\theta$ だけ回転させる線形変換の表現行列は
$\begin{pmatrix} \cos \theta & 0 & -\sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{pmatrix}$
と表せる。よって求める表現行列は
$\begin{pmatrix} \cos \left( -\dfrac{\pi}{4} \right) & 0 & -\sin \left( -\dfrac{\pi}{4} \right) \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \left( -\dfrac{\pi}{4} \right) & 0 & \cos \left( -\dfrac{\pi}{4} \right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
である。
7
空間内の点を $z$ 軸のまわりに $\dfrac{\pi}{4}$ だけ回転させる線形変換を表す行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
空間内の点を $z$ 軸のまわりに $\theta$ だけ回転させる線形変換の表現行列は
$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
と表せる。よって求める表現行列は
$\begin{pmatrix} \cos \dfrac{\pi}{4} & -\sin \dfrac{\pi}{4} & 0 \\ \sin \dfrac{\pi}{4} & \cos \dfrac{\pi}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
である。
8
空間内の点を $z$ 軸のまわりに $\dfrac{5}{6}\pi$ だけ回転させる線形変換を表す行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} & 0 \\ \dfrac{1}{2} & - \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 \\ -\dfrac{1}{2} & - \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} & 0 \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 \\ -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
空間内の点を $z$ 軸のまわりに $\theta$ だけ回転させる線形変換の表現行列は
$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
と表せる。よって求める表現行列は
$\begin{pmatrix} \cos \dfrac{5}{6}\pi & -\sin \dfrac{5}{6}\pi & 0 \\ \sin \dfrac{5}{6}\pi & \cos \dfrac{5}{6}\pi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} & 0 \\ \dfrac{1}{2} & - \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
である。
9
空間内の点を $z$ 軸のまわりに $\dfrac{5}{3}\pi$ だけ回転させる線形変換を表す行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 \\ \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
空間内の点を $z$ 軸のまわりに $\theta$ だけ回転させる線形変換の表現行列は
$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
と表せる。よって求める表現行列は
$\begin{pmatrix} \cos \dfrac{5}{3}\pi & -\sin \dfrac{5}{3}\pi & 0 \\ \sin \dfrac{5}{3}\pi & \cos \dfrac{5}{3}\pi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
である。