直交行列による対角化（3次）
1
行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ を直交行列 $T$ を使って対角化すると
${}^t TAT = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$
となった。この時 $T$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \\ 0 & 2 & -\sqrt{2} \\ -\sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \\ 0 & 2 & -\sqrt{2} \\ \sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \\ 0 &- 2 & \sqrt{2} \\ \sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \\ 0 & -2 & \sqrt{2} \\ -\sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \end{pmatrix}$
仮定から, $\lambda = -1,1,4$ は $A$ の固有値である。
$\lambda = -1$ の時
$\begin{pmatrix} 1 + 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2+1 & -1 \\ 2 & -1 & 1+1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
とすると
$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ -1 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x - y + 2z \\ -x + 3y - z \\ 2x - y + 2z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$\left\{ \begin{aligned} 2x - y + 2z &= 0 \\ -x + 3y -z &= 0 \end{aligned} \right.$
を解くと $y = 0$ かつ $z = -x$ となる。
よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_1} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ $(c_1 \not=0)$ である。
また $\lambda = 1$ の時
$\begin{pmatrix} 1 - 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2-1 & -1 \\ 2 & -1 & 1-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
とすると
$\begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - y + 2z \\ -x + y - z \\ 2x - y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$\left\{ \begin{aligned} - y + 2z &= 0 \\ -x + y -z &= 0 \\ 2x - y &= 0 \end{aligned} \right.$
を解くと $y = 2x$ かつ $z = x$ となる。
よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_2} = c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ $(c_2 \not=0)$ である。
最後に $\lambda = 4$ の時
$\begin{pmatrix} 1 - 4 & -1 & 2 \\ -1 & 2 - 4 & -1 \\ 2 & -1 & 1 - 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
とすると
$\begin{pmatrix} -3 & -1 & 2 \\ -1 & -2 & -1 \\ 2 & -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3x - y + 2z \\ -x - 2y - z \\ 2x - y - 3z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$\left\{ \begin{aligned} -3x - y + 2z &= 0 \\ -x - 2y -z &= 0 \\ 2x - y -3z &= 0 \end{aligned} \right.$
を解くと $y = -x$ かつ $z = x$ となる。
よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_3} = c_3 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ $(c_3 \not=0)$ である。
$T$ が直交行列である時 $ |\overrightarrow{v_1}| = |\overrightarrow{v_2}| = |\overrightarrow{v_3}| = 1$ であるから
$c_1 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}},~c_2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{6}},~c_3 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$
よって
$T = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \dfrac{2}{\sqrt{6}} & -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix} =\dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \\ 0 & 2 & -\sqrt{2} \\ -\sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \end{pmatrix}$
である。
2
行列 $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$ を直交行列 $T$ を使って対角化すると
${}^t TAT = \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
となった。この時 $T$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 2 & 0 \\ -\sqrt{2} & 1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{2} & -1 & \sqrt{3} \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 & 2 \\ -\sqrt{2} & \sqrt{3} & 1 \\ \sqrt{2} & \sqrt{3} & -1 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} & 2 \\ \sqrt{3} & -\sqrt{2} & 1 \\ \sqrt{3} & \sqrt{2} & -1 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 0& 2 & \sqrt{2} \\ \sqrt{3} & 1 & -\sqrt{2} \\ \sqrt{3} & -1 & \sqrt{2} \end{pmatrix}$
仮定から, $\lambda = -4,-1,1$ は $A$ の固有値である。
$\lambda = -4$ の時
$\begin{pmatrix} -2 + 4 & 1 & -1 \\ 1 & -1 + 4 & 2 \\ -1 & 2 & -1 + 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
とすると
$\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x + y - z \\ x + 3y + 2z \\ -x + 2y + 3z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$\left\{ \begin{aligned} 2x + y - z &= 0 \\ x + 3y + 2z &=0\\ -x + 2y + 3z &= 0 \end{aligned} \right.$
を解くと $z = -y$ かつ $y = -x$ となる。
よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_1} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ $(c_1 \not=0)$ である。
また $\lambda = -1$ の時
$\begin{pmatrix} -2 + 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 + 1 & 2 \\ -1 & 2 & -1 + 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
とすると
$\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - x + y - z \\ x + 2z \\ -x + 2y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$\left\{ \begin{aligned} -x + y - z &= 0 \\ x + 2z &= 0 \\ -x + 2y &= 0 \end{aligned} \right.$
を解くと $x = 2y$ かつ $z = -y$ となる。
よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_2} = c_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ $(c_2 \not=0)$ である。
最後に $\lambda = 1$ の時
$\begin{pmatrix} -2 - 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 - 1 & 2 \\ -1 & 2 & -1 - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
とすると
$\begin{pmatrix} -3 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 2 \\ -1 & 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3x + y - z \\ x - 2y + 2z \\ -x + 2y - 2z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$\left\{ \begin{aligned} -3x + y - z &= 0 \\ x - 2y + 2z &= 0 \end{aligned} \right.$
を解くと $x = 0$ かつ $z = y$ となる。
よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_3} = c_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ $(c_3 \not=0)$ である。
$T$ が直交行列である時 $ |\overrightarrow{v_1}| = |\overrightarrow{v_2}| = |\overrightarrow{v_3}| = 1$ であるから
$c_1 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}},~c_2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{6}},~c_3 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
よって
$T = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{3}} &\dfrac{2}{\sqrt{6}} & 0 \\ - \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{3}} & -\dfrac{1}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} =\dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 2 & 0 \\ -\sqrt{2} & 1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{2} & -1 & \sqrt{3} \end{pmatrix}$
である。
3
行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -3 \\ 2 & 3 & -3 \\ -3 & -3 & -2 \end{pmatrix}$ を直交行列 $T$ を使って対角化すると
${}^t TAT = \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$
となった。この時 $T$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{1}{\sqrt{22}} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{11} & 3 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{11} & 3 \\ 3\sqrt{2} & 0 & -2 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{22}} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{11} & 3 \\ \sqrt{2} & \sqrt{11} & 3 \\ -3\sqrt{2} & 0 & -2 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{22}} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{11} & 3 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{11} & 3 \\- 3\sqrt{2} & 0 & 2 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{22}} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{11} & 3 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{11} & 3 \\ -3\sqrt{2} & 0 & -2 \end{pmatrix}$
仮定から, $\lambda = -4,1,7$ は $A$ の固有値である。
$\lambda = -4$ の時
$\begin{pmatrix} 3 + 4 & 2 & -3 \\ 2 & 3 + 4 & -3 \\ -3 & -3 & -2 + 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
とすると
$\begin{pmatrix} 7 & 2 & -3 \\ 2 & 7 & -3 \\ -3 & -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7x + 2y - 3z \\ 2x + 7y - 3z \\ - 3x - 3y + 2z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$\left\{ \begin{aligned} 7x + 2y - 3z &= 0 \\ 2x + 7y - 3z &= 0 \\ -3x - 3y + 2z &= 0 \end{aligned} \right.$
を解くと $y = x$ かつ $z = 3x$ となる。
よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_1} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ $(c_1 \not=0)$ である。
また $\lambda = 1$ の時
$\begin{pmatrix} 3 - 1 & 2 & -3 \\ 2 & 3 - 1 & -3 \\ -3 & -3 & -2 - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
とすると
$\begin{pmatrix} 2 & 2 & -3 \\ 2 & 2 & -3 \\ -3 & -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x + 2y - 3z \\ 2x + 2y - 3z \\ -3x - 3y - 3z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$\left\{ \begin{aligned} 2x + 2y - 3z &= 0 \\ -3x - 3y -3z &= 0 \end{aligned} \right.$
を解くと $y = -x$ かつ $z = 0$ となる。
よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_2} = c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $(c_2 \not=0)$ である。
最後に $\lambda = 7$ の時
$\begin{pmatrix} 3 - 7 & 2 & -3 \\ 2 & 3 - 7 & -3 \\ -3 & -3 & -2 - 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
とすると
$\begin{pmatrix} -4 & 2 & -3 \\ 2 & - 4 & -3 \\ -3 & -3 & - 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4x + 2y - 3z \\ 2x - 4y - 3z \\ -3x - 3y - 9z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$\left\{ \begin{aligned} -4x + 2y - 3z &= 0 \\ 2x - 4y - 3z &= 0 \\ -3x - 3y - 9z &= 0 \end{aligned} \right.$
を解くと $y = x$ かつ $z = - \dfrac{2}{3}x$ となる。
よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_3} = c_3 \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ - 2 \end{pmatrix}$ $(c_3 \not=0)$ である。
$T$ が直交行列である時 $ |\overrightarrow{v_1}| = |\overrightarrow{v_2}| = |\overrightarrow{v_3}| = 1$ であるから
$c_1 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{11}},~c_2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}},~c_3 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{22}}$
よって
$T = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{11}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{3}{\sqrt{22}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{11}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{3}{\sqrt{22}} \\ \dfrac{3}{\sqrt{11}} & 0 & - \dfrac{2}{\sqrt{22}} \end{pmatrix} =\dfrac{1}{\sqrt{22}} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{11} & 3 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{11} & 3 \\ 3\sqrt{2} & 0 & -2 \end{pmatrix}$
である。
直交行列による対角化（2次）
1
対称行列 $A = \begin{pmatrix} -8 & -6 \\ -6 & 1 \end{pmatrix}$ を直交行列 $T$ を使って対角化すると
${}^t TAT = \begin{pmatrix} -11 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$
となった。この時, $T$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$
仮定から $\lambda = -11, 4$ は $A$ の固有値である。
$\lambda = -11$ の時
$\begin{pmatrix} -8 + 11 & -6 \\ -6 & 1 + 11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{pmatrix} 3 & -6 \\ -6 & 12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x - 6y \\ -6x + 12y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$x = 2y$ より, 固有ベクトルは $\overrightarrow{v_1} = c_1\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ $(c_1\not=0)$ である。
また, $\lambda = 4$ の時
$\begin{pmatrix} -8 - 4 & -6 \\ -6 & 1 -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{pmatrix} -12 & -6 \\ -6 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12x - 6y \\ -6x - 3y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$y = -2x$ より, 固有ベクトルは $\overrightarrow{v_2} = c_2\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ $(c_2\not=0)$ である。
$T$ は直交行列なので $|\overrightarrow{v_1}| = |\overrightarrow{v_2}| = 1$ とすると $c_1 = c_2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{5}}$ である。
よって $T = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ である。
2
対称行列 $A = \begin{pmatrix} -7 & -6 \\ -6 & 9 \end{pmatrix}$ を直交行列 $T$ を使って対角化すると
${}^t TAT = \begin{pmatrix} -9 & 0 \\ 0 & 11 \end{pmatrix}$
となった。この時, $T$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$
仮定から $\lambda = -9, 11$ は $A$ の固有値である。
$\lambda = -9$ の時
$\begin{pmatrix} -7 + 9 & -6 \\ -6 & 9 + 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{pmatrix} 2 & -6 \\ -6 & 18 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x - 6y \\ -6x + 18y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$x = 3y$ より, 固有ベクトルは $\overrightarrow{v_1} = c_1\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ $(c_1\not=0)$ である。
また, $\lambda = 11$ の時
$\begin{pmatrix} -7 - 11 & -6 \\ -6 & 9-11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{pmatrix} -18 & -6 \\ -6 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -18x - 6y \\ -6x - 2y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$y = -3x$ より, 固有ベクトルは $\overrightarrow{v_2} = c_2\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ $(c_2\not=0)$ である。
$T$ は直交行列なので $|\overrightarrow{v_1}| = |\overrightarrow{v_2}| = 1$ とすると $c_1 = c_2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{10}}$ である。
よって $T = \dfrac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$ である。
3
対称行列 $A = \begin{pmatrix} -6 & -5 \\ -5 & -6 \end{pmatrix}$ を直交行列 $T$ を使って対角化すると
${}^t TAT = \begin{pmatrix} -11 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
となった。この時, $T$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
仮定から $\lambda = -11, -1$ は $A$ の固有値である。
$\lambda = -11$ の時
$\begin{pmatrix} -6 + 11 & -5 \\ -5 & -6 + 11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{pmatrix} 5 & -5 \\ -5 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5x - 5y \\ -5x + 5y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$y = x$ より, 固有ベクトルは $\overrightarrow{v_1} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ $(c_1\not=0)$ である。
また, $\lambda = -1$ の時
$\begin{pmatrix} -6 + 1 & -5 \\ -5 & -6 + 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{pmatrix} -5 & -5 \\ -5 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5x - 5y \\ -5x - 5y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$y = -x$ より, 固有ベクトルは $\overrightarrow{v_2} = c_2\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ $(c_2\not=0)$ である。
$T$ は直交行列なので $|\overrightarrow{v_1}| = |\overrightarrow{v_2}| = 1$ とすると $c_1 = c_2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ である。
よって $T = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ である。
4
対称行列 $A = \begin{pmatrix} 9 & 5 \\ 5 & 9 \end{pmatrix}$ を直交行列 $T$ を使って対角化すると
${}^t TAT = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 14 \end{pmatrix}$
となった。この時, $T$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
仮定から $\lambda = 4, 14$ は $A$ の固有値である。
$\lambda = 4$ の時
$\begin{pmatrix} 9 - 4 & 5 \\ 5 & 9 - 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5x + 5y \\ 5x + 5y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$y = - x$ より, 固有ベクトルは $\overrightarrow{v_1} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ $(c_1\not=0)$ である。
また, $\lambda = 14$ の時
$\begin{pmatrix} 9 - 14 & 5 \\ 5 & 9 - 14 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{pmatrix} -5 & 5 \\ 5 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5x + 5y \\ 5x - 5y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$y = x$ より, 固有ベクトルは $\overrightarrow{v_2} = c_2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ $(c_2\not=0)$ である。
$T$ は直交行列なので $|\overrightarrow{v_1}| = |\overrightarrow{v_2}| = 1$ とすると $c_1 = c_2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ である。
よって $T = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ である。